Question

已知正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=

5-k

x

（k為常數(shù)，k≠0）的圖象有一個交點的橫坐標(biāo)是2．
（1）求這兩個函數(shù)的解析式；
（2）求這兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)；
（3）若點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是反比例函數(shù)y=

5-k

x

圖象上的兩點，且x₁＜x₂，試比較y₁與y₂的大小．

Answer 1

分析：（1）由兩函數(shù)圖象的一個交點橫坐標(biāo)為2，將x=2代入正比例及反比例函數(shù)解析式，并令y相等得到關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出兩函數(shù)解析式；
（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解，即可得到兩交點的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，分三種情況：當(dāng)A和B都在第一象限時，根據(jù)反比例函數(shù)在第一象限為減函數(shù)，根據(jù)x₁＜x₂，判斷出y₁與y₂的大小；當(dāng)A在第三象限，B在第一象限時，可得出A的縱坐標(biāo)小于0，B的縱坐標(biāo)大于0，比較出y₁與y₂的大小；當(dāng)A和B都在第三象限時，根據(jù)反比例函數(shù)在第三象限為減函數(shù)，根據(jù)x₁＜x₂，判斷出y₁與y₂的大小．

解答：解：（1）∵一個交點的橫坐標(biāo)為2，
∴將x=2代入正比例解析式得：y=2k，代入反比例解析式得：y=

5-k

2

，
消去y得：2k=

5-k

2

，解得：k=1，
則這兩個函數(shù)的解析式分別為y=x和y=

4

x

；
（2）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立得：

y=x y= 4 x

，
解得：

x=2 y=2

或

x=-2 y=-2

，
則兩個交點分別為（2，2）和（-2，-2）；
（3）當(dāng)x₁＜x₂＜0時，y₁＞y₂；當(dāng)x₁＜0＜x₂時，y₁＜y₂；當(dāng)0＜x₁＜x₂時，y₁＞y₂．

點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，以及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求兩函數(shù)的交點，需要將兩函數(shù)解析式聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解可得出交點坐標(biāo)．