Question

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+6與x、y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,雙曲線的解析式為

(1)求出線段AB的長

(2)在雙曲線第四象限的分支上存在一點(diǎn)C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;

(3)在(1)(2)的條件下,連接AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),過D作AC的垂線BF,交AC于B,交直線AB于F,連AD,若點(diǎn)P為射線AD上的一動點(diǎn),連接PC、PF,當(dāng)點(diǎn)P在射線AD上運(yùn)動時,PF-PC的值是否發(fā)生改變?若改變,請求出其范圍;若不變,請證明并求出定值。

Answer 1

【答案】（1）10（2）-12；（3）不變，25

【解析】

(1)首先求出圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得出AO,OB的長,即可利用勾股定理求出AB的長;

(2)首先作CD⊥y軸于點(diǎn)D,求出∠BAO=∠CBD再利用△ABO≌△BDC,進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo),即可得出k的值

(3)首先連接FC交AP于M,利用△ABD≌△CBF(SAS),得出∠BAD=∠DCM,進(jìn)而利用勾股定理求出PF-PC=DF-CD,求出即可

（1）

由y=x+6與x、y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B，

得:x=0時,y=6,y=0時,x=-8

故A(-8,0),B(0,6)

∴AO=8, OB=6

∴AB==10

(2)作CD⊥y軸于點(diǎn)D,

∵∠ABO+∠BAO=90°，∠CBO+∠ABO=90°,

∴∠BAO=∠CBD

在△ABO和△BDC中,

∴△ABO≌△BDC(AAS),

∴CD=OB=6, BD=OA=8

∴OD=BD-OB=8-6=2

∴C(6,-2)

∴k=6×(-2)=-12

(3)連接FC交AP于M

∵AB=BC,∠ABC=90°,

∴∠ACB=45°

∵EF⊥AC

∴∠BDR=∠EDC=45°

∵∠ABC=90°

∴.∠BFD=∠BDF=45°

∴BD=BF

在△ABD和△CBF中

∴△ABD≌△CBF(SAS)

∴∠BAD=∠DCM

∴∠DMC=∠ABD=90°

∴PF-PC=(FM+ MP)-(CM+MP)=FM-CM=(DF-DM)-(CD-DM)=DF-CD

∵D是BC的中點(diǎn)

∴BD=CD=5

.∴BF=5

∴DF= =5

∴PF-PC=(5) -5=25