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        1. 【題目】將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.

          (1)將圖1中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點P1是A1C與AB的交點,點Q是A1B1與BC的交點,求證:CP1=CQ;

          (2)在圖2中,若AP1=a,則CQ等于多少?

          (3)將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C(如圖3),點P2是A2C與AP1的交點.當旋轉(zhuǎn)角為多少度時,有△AP1C∽△CP1P2?這時線段CP1與P1P2之間存在一個怎樣的數(shù)量關(guān)系?

          【答案】(1)證明見解析;(2)CQ=a;(3)當∠P1CP2=∠P1AC=30°時, P1P2CP1

          【解析】試題分析:(1)根據(jù)△A1B1C和△ABC是兩個完全一樣的三角形,順時針旋轉(zhuǎn)45°兩個條件證明△B1CQ≌△BCP1,然后可求證:CP1=CQ;

          (2)作P1D⊥AC于D,根據(jù)∠A=30,∠P1CD=45°分別求出P1D=AP1,CP1=P1D=AP1,而AP1=a可求CQ.

          (3)當△A P1C∽△CP1P2時,∠P1CP2=∠P1AC=30°,再根據(jù)相似求出CP1與P1P2之間存在的數(shù)量關(guān)系;

          試題解析:

          (1)∵∠B1CB=45°,∠B1CA1=90°,

          ∴∠B1CQ=∠BCP1=45°;

          又B1C=BC,∠B1=∠B,

          ∴△B1CQ≌△BCP1(ASA)

          ∴CQ=CP1;

          (2)如圖:作P1D⊥AC于D,

          ∵∠A=30°,

          ∴P1D=AP1;

          ∵∠P1CD=45°,

          =sin45°=,

          ∴CP1=P1D=AP1;

          又AP1=a,CQ=CP1

          ∴CQ=a;

          (3)當∠P1CP2=∠P1AC=30°時,由于∠CP1P2=∠AP1C,則△AP1C∽△CP1P2

          所以將圖2中△A1B1C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°到△A2B2C時,有△AP1C∽△CP1P2

          這時==,

          ∴P1P2=CP1

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          (1)如圖1,滑動點是邊長為a的等邊三角形三個頂點,此時S3=;

          (2)如圖2,滑動點是邊長為a,對角線(線段A1A2、A2A4)長為b的正方形四個頂點,此時S4=
          【深入研究】
          現(xiàn)有n個點恰好在同一直線上,相鄰兩點距離都為1,

          (3)如圖3,當n=3時,直線上的點分別為A1、A2、A3
          為了完成“完美運動”,滑動的步驟給出如圖4所示的兩種方法:
          方法1:A1→A3→A2→A1 , 方法2:A1→A2→A3→A1
          ①其中正確的方法為
          A.方法1 B.方法2 C.方法1和方法2
          ②完成此“完美運動”的S3=


          (4)當n分別取4,5時,對應(yīng)的S4= , S5=
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