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        1. (2012•漳州二模)如圖:在平面直角坐標系中,將長方形紙片ABCD的頂點B與原點O重合,BC邊放在x軸的正半軸上,AB=3,AD=6,將紙片沿過點M的直線折疊(點M在邊AB上),使點B落在邊AD上的E處(若折痕MN與x軸相交時,其交點即為N),過點E作EQ⊥BC于Q,交折痕于點P.
          (1)①當點M分別與AB的中點、A點重合時,那么對應的點P分別是點P1、P2,則P1
          (0,
          3
          2
          (0,
          3
          2
          、P2
          (3,0)
          (3,0)
          ;②當∠OMN=60°時,對應的點P是點P3,求P3的坐標;
          (2)若拋物線y=ax2+bx+c,是經(jīng)過(1)中的點P1、P2、P3,試求a、b、c的值;
          (3)在一般情況下,設P點坐標是(x,y),那么y與x之間函數(shù)關系式還會與(2)中函數(shù)關系相同嗎(不考慮x的取值范圍)?請你利用有關幾何性質(zhì)(即不再用P1、P2、P3三點)求出y與x之間的關系來給予說明.
          分析:(1)①點M為AB的中點時,點B與點A重合,即點E與點A重合,則點P為AO的中點,即可得到點P1的坐標,點M與點A重合時,點Q、P、N重合,AE=AO=3,從而得到點P2的坐標;
          ②根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠MNO=30°,根據(jù)翻折對稱性求出∠QNE=60°,然后解直角三角形求出QN、PQ的長度,再利用直角三角形的兩銳角互余求出∠PEN=30°,連接PO,利用翻折對稱性求出∠PON=∠PEN=30°,從而得到∠PON=∠MNO,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得OQ=QN,從而得到點P3的坐標;
          (2)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式列式求解即可;
          (3)連接PO,根據(jù)翻折對稱性可得PE=PO,然后用點P的坐標表示出PO,在Rt△POQ中,根據(jù)勾股定理列式整理即可得解.
          解答:解:(1)①當M與AB的中點重合時,B與A重合,即E與A重合,則點P為OA的中點,
          ∵AB=3,
          ∴P1(0,
          3
          2
          ),
          當M與A重合時,Q、P與N重合,
          此時,AE=AO=3,
          ∴P2(3,0);
          故答案為:(0,
          3
          2
          ),(3,0);

          ②當∠OMN=60°時,∠MNO=90°-60°=30°,
          根據(jù)翻折對稱性,∠QNE=2∠MNO=2×30°=60°,
          在Rt△QNE中,tan∠QNE=
          EQ
          QN
          ,
          3
          QN
          =
          3
          ,
          解得QN=
          3

          在Rt△PQN中,PQ=QN•tan∠MNO=
          3
          tan30°=
          3
          ×
          3
          3
          =1,
          連接PO,根據(jù)對折的性質(zhì),∠PON=∠PEN=90°-60°=30°,
          ∴∠PON=∠MNO,
          ∵EQ⊥BC,
          ∴OQ=QN=
          3
          ,
          ∴點P3
          3
          ,1);

          (2)∵拋物線經(jīng)過點P1(0,
          3
          2
          ),P2(3,0),P3
          3
          ,1),
          c=
          3
          2
          9a+3b+c=0
          3a+
          3
          b+c=1
          ,
          解得
          a=-
          1
          6
          b=0
          c=
          3
          2

          故,a、b、c的值分別為a=-
          1
          6
          ,b=0,c=
          3
          2
          ;

          (3)相同.
          理由如下:如圖,連接OP,根據(jù)對折的對稱性,△PON≌△PEN,
          則PE=OP,
          ∵AB=3,
          ∴OP+PQ=EQ=AB=3,
          ∴OQ=x,PQ=y,PO=3-y,
          在Rt△OPQ中,根據(jù)勾股定理,x2+y2=(3-y)2
          整理,x2+y2=9-6y+y2,
          y=-
          1
          6
          x2+
          3
          2
          點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,主要考查了折疊的性質(zhì),解直角三角形,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,勾股定理,難度不是很大,(1)中利用角度的相等求出相等的角,是利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求解的關鍵,也是解題的突破點.
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