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        1. 已知:如圖,直線y=kx+3(k>0)交x軸于B點,交y軸于A點,以A為圓心,AB為半徑作⊙A交x軸于另一點D,交y軸于E、F兩點,交直線AB于C點,連接BE、CE,∠CBD的平分線交CE于I點.
          (1)求證:BE=IE;
          (2)若AI⊥CE,設Q為弧BF上一點,連接DQ交y軸于T,連接BQ并延長交y軸于G點,求AT•AG的值;
          (3)設P為線段AB上的一個動點(異于A、B),連接PD交y軸于M點,過P、M、B三點作⊙O1交y軸于另一點N.設⊙O1的半徑為R,當k=
          3
          4
          時,給出下列兩個結(jié)論:①MN的長度不變;②
          MN
          R
          的值不變,其中有且只有一個結(jié)論是正確的,請你判斷哪一個結(jié)論正確,證明正確的結(jié)論并求出其值.
          精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)
          分析:(1)已知AE⊥BD,由垂徑定理得,弧BE=弧DE,由圓周角定理得∠1=∠2,AH是∠ABO的平分線,則∠3=∠4,由三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和得,∠5=∠2+∠3,∠IBE=∠1+∠4,所以∠5=∠IBE,由等角對等邊得證BE=IE;
          (2)連接QC、TB,由同角或等角的余角相等得,∠CBQ=∠8=∠9,可證△ABG∽△ATB得到AB2=AG•AT,又因為AH⊥CE,由垂徑定理得,H為CE的中點,即BE=EC,得證△BEO∽△CBE,得OE:OB=BE:CE=1:2,設⊙A的半徑為R,由勾股定理得,AB2-OA2=BO2,OE=R-3,可求得,R=5,即AT•AG=AB2=25;(方法二提示:可連接AD、CD證△BAG∽△TAD)
          (3)②的值不變.作O1K⊥MN于K,連接O1N、PN、BM,由垂徑定理得,MN=2NK,且∠N O1K=∠1,由正弦的概念得,
          MN
          R
          =
          2NK
          O1K
          =2sin∠NO1K=2sin∠1,由直線y=x+3求得OB=OD=4,即OM⊥BD,由垂徑定理得∠2=∠3,由三角形的外角與內(nèi)角的關系得:∠2=∠4+∠5,∠3=∠1+∠6,由圓周角定理知∠5=∠6,所以∠1=∠4=∠NO1K,=2sin∠4=2×
          BO
          AB
          =
          8
          5
          解答:(1)證明:∵AE⊥BD,
          ∴弧BE=弧DE.
          ∴∠1=∠2.
          ∵∠3=∠4,∠5=∠2+∠3,∠IBE=∠1+∠4,
          ∴∠5=∠IBE.精英家教網(wǎng)
          ∴BE=IE.

          (2)解:連接QC、TB,
          則∠6+∠CBQ=90°,
          又∠7+∠8=90°,而∠6=∠7,
          ∴∠CBQ=∠8=∠9.
          ∴△ABG∽△ATB.
          ∴AB2=AG•AT.
          ∵AI⊥CE,
          ∴I為CE的中點.
          ∴AE=AC,IE=IC.
          ∴△BEO∽△CBE.
          ∴OE:OB=BE:CE=1:2.
          設⊙A的半徑為R,
          由AB2-OA2=BO2,OE=R-3,
          得R2-32=4(R-3)2
          解得R=5,或R=3(不合題意,舍去).
          ∴AT•AG=AB2=25.
          (方法二提示:可連接AD、CD證△BAG∽△TAD)

          (3)解:②的值不變.精英家教網(wǎng)
          證明:作O1K⊥MN于K,連接O1N、PN、BM,
          則MN=2NK,且∠N O1K=∠1,
          MN
          R
          =
          2NK
          O1K
          =2sin∠NO1K=2sin∠1
          由直線y=x+3得OB=OD=4,OM⊥BD,
          ∴∠2=∠3.
          又∠2=∠4+∠5,∠3=∠1+∠6,
          ∵∠5=∠6,
          ∴∠1=∠4=∠NO1K,
          MN
          R
          =2sin∠4=2×
          BO
          AB
          =
          8
          5

          所以
          MN
          R
          的值不變,其值為
          8
          5
          點評:本題利用了垂徑定理,直角三角形的性質(zhì),全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì),勾股定理圓周角定理,一次函數(shù)的圖象與坐標軸的關系,三角形的外角與內(nèi)角的關系求解,綜合性強,涉及多個知識點.
          練習冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知,如圖,直線y=
          3
          3
          x+
          3
          與x軸、y軸分別交于A、B兩點,⊙M經(jīng)過精英家教網(wǎng)原點O及A、B兩點.
          (1)求以OA、OB兩線段長為根的一元二方程;
          (2)C是⊙M上一點,連接BC交OA于點D,若∠COD=∠CBO,寫出經(jīng)過O、C、A三點的二次函數(shù)的解析式;
          (3)若延長BC到E,使DE=2,連接EA,試判斷直線EA與⊙M的位置關系,并說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (2002•岳陽)已知:如圖,直線MN和⊙O切于點C,AB是⊙O的直徑,AE⊥MN,BF⊥MN且與⊙O交于點G,垂足分別是E、F,AC是⊙O的弦,
          (1)求證:AB=AE+BF;
          (2)令AE=m,EF=n,BF=p,證明:n2=4mp;
          (3)設⊙O的半徑為5,AC=6,求以AE、BF的長為根的一元二次方程;
          (4)將直線MN向上平行移動至與⊙O相交時,m、n、p之間有什么關系?向下平行移動至與⊙O相離時,m、n、p之間又有什么關系?

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知:如圖,直線y=kx+b經(jīng)過點A、B.
          求:(1)這個函數(shù)的解析式;
          (2)當x=4時,y的值.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知:如圖,直線y=kx+b與x軸交于點A,且與雙曲線y=
          m
          x
          交于點B(4,2)和點C(n,-4). 
          (1)求直線y=kx+b和雙曲線y=
          m
          x
          的解析式;
          (2)根據(jù)圖象寫出關于x的不等式kx+b<
          m
          x
          的解集;
          (3)點D在直線y=kx+b上,設點D的縱坐標為t(t>0).過點D作平行于x軸的直線交雙曲線y=
          m
          x
          于點E.若△ADE的面積為
          7
          2
          ,請直接寫出所有滿足條件的t的值.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知:如圖,直線a∥b,∠1=(2x+10)°,∠2=(3x-5)°,那么∠1=
          80
          80
          °.

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