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        1. 【題目】(1)如圖1,在ABC中,點D、E、Q分別在AB、AC、BC上,且DEBC,AQ交DE于點P,求證:=;

          (2)如圖,ABC中,BAC=90°,正方形DEFG的四個頂點在ABC的邊上,連接AG,AF分別交DE于M,N兩點.

          ①如圖2,若AB=AC=1,直接寫出MN的長;

          ②如圖3,求證:MN2=DMEN.

          【答案】(1)見解析;(2).②見解析

          【解析】

          試題分析:(1)可證明ADP∽△ABQ,ACQ∽△ADP,從而得出=;

          (2)①根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高,根據(jù)ADE∽△ABC,求出正方形DEFG的邊長,根據(jù)等于高之比即可求出MN;

          ②可得出BGD∽△EFC,則DGEF=CFBG;又由DG=GF=EF,得GF2=CFBG,再根據(jù)(1)==,從而得出答案.

          (1)證明:在ABQADP中,

          DPBQ,

          ∴△ADP∽△ABQ

          =,

          同理在ACQAPE中,

          =,

          =

          (2)①作AQBC于點Q.

          BC邊上的高AQ=,

          DE=DG=GF=EF=BG=CF

          DE:BC=1:3

          DEBC,

          AD:AB=1:3,

          AD=,DE=,

          DE邊上的高為,MN:GF=

          MN=,

          MN=

          故答案為:

          ②證明:∵∠B+C=90°CEF+C=90°

          ∴∠B=CEF,

          ∵∠BGD=EFC,

          ∴△BGD∽△EFC

          =,

          DGEF=CFBG

          DG=GF=EF,

          GF2=CFBG,

          由(1)得==,

          ×=

          2=,

          GF2=CFBG,

          MN2=DMEN.

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