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        1. 如圖,正方形ABCD的邊長為8厘米,動點P從點A出發(fā)沿AB邊由A向B以1厘米/秒的速度勻速移動(點P不與點A、B重合),動點Q從點B出發(fā)沿折線BC-CD以2厘米/秒的速度勻速移動,點P、Q同時出發(fā)精英家教網(wǎng),當(dāng)點P停止運動,點Q也隨之停止.連接AQ,交BD于點E.設(shè)點P運動時間為x秒.
          (1)當(dāng)點Q在線段BC上運動時,點P出發(fā)多少時間后,∠BEP和∠BEQ相等;
          (2)當(dāng)點Q在線段BC上運動時,求證:△BQE的面積是△APE的面積的2倍;
          (3)設(shè)△APE的面積為y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.
          分析:(1)當(dāng)∠BEP和∠BEQ相等時,三角形BPE和BQE全等,那么BP=BQ,可以根據(jù)P,Q的速度,用時間表示出BP,BQ的長,進而求出t的值.
          (2)因為Q的速度是P的2倍,因此BQ=2AP.過點E作MN⊥BC,垂足為M,交AD于點N,作EH⊥AB,垂足為H.由于∠ABD=∠DBC=45°,根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可得出EH=EM,因此根據(jù)三角形的面積公式即可得出三角形BQE的面積是三角形APE面積的2倍.
          (3)要分三種情況進行討論
          ①當(dāng)Q在BC上時,求三角形APE的面積關(guān)鍵是求AP邊上的高,也就是EH的長,由于EH=EM,可通過求EM得出EH的值,根據(jù)相似三角形BEQ和AED可得出關(guān)于EM,EN,AD,BQ的比例關(guān)系,可用EM表示出EN,進而根據(jù)比例關(guān)系式得出EM即EH的長,也就能得出關(guān)于x,y的函數(shù)關(guān)系式了.
          ②當(dāng)Q與C重合時,可直接求出三角形BEQ的面積,根據(jù)(2)的結(jié)果求出三角形APE的面積.
          ③當(dāng)Q在CD上時,關(guān)鍵還是求AP邊上的高,過點E作MH⊥AB,垂足為H,可知MH⊥CD,設(shè)垂足為M,那么可參照②求EM的方法求出EH,然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出y,x的函數(shù)關(guān)系式.
          解答:解:
          (1)∵四邊形ABCD是正方形.
          ∴∠ABD=∠DBC.
          當(dāng)∠BEP=∠BEQ時,∠PBE=∠QBE,BE=BE.精英家教網(wǎng)
          ∴△PBE≌△QBE.
          ∴PB=QB.
          即8-x=2x.
          解得x=
          8
          3

          即點P出發(fā)
          8
          3
          秒后,∠BEP=∠BEQ.

          (2)當(dāng)點Q在線段BC上運動時,如圖1,過點E作MN⊥BC,垂足為M,交AD于點N,作EH⊥AB,垂足為H.∵∠ABD=∠DBC,EH⊥AB,EM⊥BC.
          ∴EH=EM.
          ∵BQ=2x,AP=1x.
          ∴BQ=2AP
          ∵S△APE=
          1
          2
          AP•EH,S△BQE=
          1
          2
          BQ•EM=
          1
          2
          •2AP•EH=AP•EH=2S△APE
          所以S△BQE=2S△APE

          (3)①當(dāng)0<x<4時,點Q在BC邊上運動.
          ∵四邊形ABCD是正方形.
          ∴AD∥BC.
          ∴MN⊥AD,△BEQ∽△DEA.
          BQ
          AD
          =
          EM
          EN

          2x
          8
          =
          EM
          8-EM

          解得EM=
          8x
          4+x

          即EH=
          8x
          4+x

          ∴S△APE=
          1
          2
          AP•EH=
          1
          2
          •x•
          8x
          4+x
          =
          4x2
          4+x

          即y=
          4x2
          4+x

          ②當(dāng)x=4時,點Q與點C重合.此時y=8.
          ③當(dāng)4<x<8時,點Q在CD邊上運動.如圖2,過點E作MH⊥AB,垂足為H,可知MH⊥CD.
          設(shè)垂足為M.
          ∵AB∥DC.
          ∴∠ABE=∠EDQ,∠BAE=∠DQE,
          ∴△AEB∽△DEQ.
          AB
          DQ
          =
          EH
          EM

          8
          16-2x
          =
          EH
          8-EH

          解得EH=
          32
          12-x

          ∴S△APE=
          1
          2
          AP•EH=
          1
          2
          •x•
          32
          12-x
          =
          16x
          12-x

          即y=
          16x
          12-x

          綜上所述,y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=
          4x2
          4+x
          (0<x<4);y=8(x=4);y=
          16x
          12-x
          (4<x<8).
          點評:本題主要考查了正方形的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)等綜合知識,根據(jù)相似三角形得出線段的比例關(guān)系從而表示出三角形APE的高是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
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          2
          cm,則△AEC面積為
           
          cm2

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          A、1B、2C、3D、4

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          16

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          如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接BE、DG.
          (1)若ED:DC=1:2,EF=12,試求DG的長.
          (2)觀察猜想BE與DG之間的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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          同步練習(xí)冊答案