Question

如圖，在矩形OABC中，點(diǎn)A（0,10），C(8，0).沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC，使點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)E處．分別以O(shè)C， OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O，D，C三點(diǎn)．

（1）求D的的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

（2）一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)，沿EC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？

（3）點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，是否存在這樣的點(diǎn)M與點(diǎn)N，使以M，N，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)（不寫求解過程）；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．

而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．

當(dāng)∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，

∴=，即=，

解得t=．

當(dāng)∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，

∴=，即=，

解得t=．

∴當(dāng)t=或時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似．………（4分）

（3）假設(shè)存在符合條件的M、N點(diǎn)，分兩種情況討論………………… （共4分酌情給分）

①EC為平行四邊形的對(duì)角線，由于拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過EC中點(diǎn)，若四邊形MENC是平行四邊形，那么M點(diǎn)必為拋物線頂點(diǎn)；

則：M（4，）；而平行四邊形的對(duì)角線互相平分，那么線段MN必被EC中點(diǎn)（4，3）平分，則N（4，﹣）；

②EC為平行四邊形的邊，則ECMN，設(shè)N（4，m），則M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；

將M（﹣4，m+6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣38，此時(shí) N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；

將M（12，m﹣6）代入拋物線的解析式中，得：m=﹣26，此時(shí) N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；

綜上，存在符合條件的M、N點(diǎn)，且它們的坐標(biāo)為：

①M(fèi)₁（﹣4，﹣32），N₁（4，﹣38）

②M₂（12，﹣32），N₂（4，﹣26）

③M₃（4，），N₃（4，﹣）．