Question

如圖，在直徑為AB的半圓內(nèi)，畫出一個三角形區(qū)域，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個內(nèi)接于△ABC的矩形建筑物DEFN，其中DE在AB上，設(shè)計方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)；
（2）設(shè)DN=x，當(dāng)x取何值時，建筑物DEFN所占區(qū)域的面積最大？
（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB邊上距B點1.85的K處有一處文物，問：這處文物是否位于最大建筑物的邊上？如果在，為保護文物，請設(shè)計出你的方案，使?jié)M足條件的內(nèi)接三角形中欲建的最大矩形建筑物能避開文物．

Answer 1

解：（1）過C作CM⊥AB于M，則CM=h，
在Rt△ABC中，AB===10，
根據(jù)三角形面積公式得：S_△ACB=AC×BC=AB×h，
∴h===4.8

（2）∵△CNF∽△CAB
∴
∴NF=
∴=-（x-2.4）²+12，
則當(dāng)x=2.4時，S_矩形DEFN最大；

（3）當(dāng)S_矩形DEFN最大，x=2.4，
過點C作CM⊥AB于點M，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴CM==4.8，
∵EF=CM=2.4，
∴F為BC中點，
BF=BC=3，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∴EB===1.8
∵BK=1.85
∴BK＞EB
故文物必位于欲修建的建筑物邊上，應(yīng)重新設(shè)計方案
∵x=2.4時，NF=5
∴AD=3.2
由圓的對稱性知：滿足題設(shè)條件的設(shè)計方案是：
將最大面積的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C點在半圓周上的△ABC中．
答：（1）△ABC中AB邊上的高h(yuǎn)為4.8；（2）當(dāng)x=2.4時，S_矩形DEFN最大；（3）文物必位于欲修建的建筑物邊上，應(yīng)重新設(shè)計方案，新設(shè)計方案是將最大面積的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C點在半圓周上的△ABC中．
分析：（1）首先利用勾股定理求得AB的長．再利用三角形面積的兩種求法解得高h(yuǎn)的值．
（2）根據(jù)相似形對應(yīng)邊成比例列出矩形面積關(guān)于x的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求關(guān)系式的最大值．
（3）根據(jù)（2）知，知道x的取值，此時S_矩形DEFN最大，求得EF、BF的值．再利用勾股定理求得BE的值，并與1.85比較大小．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)求極值、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識點．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．