Question

【題目】感知：如圖①，在等腰直角△ABC中，分別以△ABC的三條邊為斜邊向△ABC外部作等腰直角△ABD、等腰直角△ACE、等腰直角△BCF，連結點D、E、F，則易知△DEF為等腰三角形．如果AB＝AC＝7，請直接寫出△DEF的面積為　 　．

探究：如圖②，Rt△ABC中，AB＝14，AC＝30，分別以△ABC的三條邊為斜邊向△ABC外部作等腰直角△ABD、等腰直角△ACE、等腰直角△BCF，連結點D、E、F，求△DEF的面積為多少．

拓展：如圖③，Rt△ABC中，AB＝14，AC＝15，分別以△ABC的三條邊為斜邊向△ABC外部作Rt△ABD、Rt△ACE、Rt△BCF，且tan∠BCF＝tan∠CAE＝tan∠ABD＝，連結點D、E、F，則△DEF的面積為　 　．

Answer 1

【答案】感知： 49;探究： 484;拓展： 168.15．

【解析】

感知：只要證明E、A、D共線，FA⊥DE，想辦法求出DE、AF即可；

探究：如圖②中，連接AF．作FM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AC于N．解法類似；

拓展：如圖③中，連接AF，作BH⊥AF于H．解法類似；

解：感知：如圖①中，連接AF．

∵AC＝AB，∠BAC＝90°，△ACE，△ABD都是等腰直角三角形，

∴EC＝AE＝AD＝BD，∠CAE＝∠BAD＝45°

∴∠CAE+∠CAB+∠BAD＝180°，

∴E、A、D共線，

∵CF＝FB，∠FCE＝∠FBD，CE＝BD，

∴△CFE≌△BFD，

∴FE＝FD，∵AE＝AD，

∴FA⊥DE，

∴

探究：如圖②中，連接AF．作FM⊥AB于M，F(xiàn)N⊥AC于N．

同理可證E、A、D共線，

∵∠BAC+∠CFB＝180°，

∴A、B、F、C四點共圓，

∴∠FAB＝∠FCB＝45°，∵∠BAD＝45°，

∴∠FAD＝90°，

∴FA⊥DE，

∵∠FAC＝∠FAB，FM⊥AB于M，FN⊥AC于N．

∴FN＝FM，

∵FC＝FB，

∴△FCN≌△FBM，

∴FN＝FM＝AM＝AN，CN＝BM，

∴AN+AM＝AC﹣CN+AM﹣BM＝44，

∴AM＝FM＝22，

∴

∴

（3）拓展：如圖③中，連接AF，作BH⊥AF于H．

同法可證E、A、D共線，AF⊥DE，

易知：

由△FHB∽△CAB，可得：

∴

∴

∴

故答案為49，484，168.15．