Question

如圖，已知反比例函數(shù)y₁=

k1

x

（k₁＞0）與一次函數(shù)y₂=k₂x+1（k₂≠0）相交于A、B兩點(diǎn)，AC⊥x軸于點(diǎn)C．若△OAC的面積為1，且tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）請(qǐng)直接指出當(dāng)x為何值時(shí)，反比例函數(shù)y₁的值大于一次函數(shù)y₂的值？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義由△OAC的面積為1得到k₁=2，即反比例解析式為y₁=

2

x

，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

2

a

），根據(jù)正切的定義可得

AC

OC

=2，即AC=2OC，可求得a=1，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），然后把A（1，2）代入一次函數(shù)y₂=k₂x+1（k₂≠0）可計(jì)算出k₂=1，于是得到一次函數(shù)的解析式為y₂=x+1；
（2）先解兩個(gè)函數(shù)解析式所組的方程組得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），再確定D點(diǎn)坐標(biāo)（-1，0），然后利用S_△ABO=S_△ADO+S_△BDO進(jìn)行計(jì)算；
（3）觀(guān)察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜-2或0＜x＜1時(shí)，反比例函數(shù)圖象都在一次函數(shù)的上方，即反比例函數(shù)y₁的值大于一次函數(shù)y₂的值．

解答：解：（1）∵△OAC的面積為1，
∴k₁=2，即反比例解析式為y₁=

2

x

，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

2

a

），
∵tan∠AOC=2，
∴

AC

OC

=2，即AC=2OC，
∴

2

a

=2a，解得a=1（負(fù)根舍去），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
把A（1，2）代入y₂=k₂x+1（k₂≠0）得2=k₂+1，解得k₂=1，
∴一次函數(shù)的解析式為y₂=x+1；
（2）連接OB，如圖，
解方程組

y=x+1 y= 2 x

得

x=1 y=2

和

x=-2 y=-1

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
對(duì)于y₂=x+1，令y=0，則x+1=0，解得x=-1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴S_△ABO=S_△ADO+S_△BDO=

1

2

×1×2+

1

2

×1×1=

3

2

；
（3）當(dāng)x＜-2或0＜x＜1時(shí)，反比例函數(shù)y₁的值大于一次函數(shù)y₂的值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)的解析式．也考查了三角形面積公式．