Question

已知：在坐標(biāo)平面內(nèi)A（0，0）、B（12，0）、C（12，6）、D（0，6），點Q、P分別沿DA、AB從D、A向A、B以1單位/秒，2單位/秒的速度移動，同時出發(fā)，t表示移動時間（0≤t≤6）．
（1）寫出△PQA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（2）四邊形APCQ的面積與t有關(guān)嗎？說明理由．
（3）t等于多少時，△APQ為軸對稱圖形．
（4）PQ能否與AC垂直？若能，求出直線PQ的解析式；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A，B，C，D四點的坐標(biāo)可知：四邊形ABCD是個矩形，可根據(jù)P，Q的速度用時間t表示出AQ，AP的長，進(jìn)而用三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接AC，四邊形APCQ的面積可以分成△AQC和△APC兩部分，S_△AQC=

1

2

（6-t）•12=36-6t，S_△APC=

1

2

•2t•6=6t，因此四邊形APCQ的面積等于36與t的大小沒有關(guān)系；
（3）要使△APQ為軸對稱圖形，只有一種情況即AP=AQ時，△APQ為等腰直角三角形，那么AP=AQ，即6-t=2t，因此t=3．此時等腰直角三角形的對稱軸正好是第一象限的角平分線即y=x；
（4）假設(shè)PQ⊥AC，根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似，證出△ABC∽△QAP，由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，如果能夠求出符合題意的t值，說明PQ能與AC垂直，從而運用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式；如果不能夠求出符合題意的t值，說明PQ不能與AC垂直．

解答：解：（1）∵AP=2t，DQ=t，
∴AQ=AD-DQ=6-t，
∴S_△APQ=

1

2

AP•AQ=

1

2

•2t（6-t）=-t²+6t，
∴S=-t²+6t；

（2）連接AC．
∵S_{四邊形APCQ}=S_△AQC+S_△APC=

1

2

（6-t）•12+

1

2

•2t•6=36，
∴四邊形APGQ的面積與t無關(guān)；

（3）當(dāng)且僅當(dāng)AQ=AP，即6-t=2t，t=2時，△AQP是等腰直角三角形，從而是軸對稱圖形．
故當(dāng)t=2時，△APQ為軸對稱圖形；

（4）假設(shè)PQ⊥AC，則∠CAB=∠PQA=90°-∠APQ，
又∵∠ABC=∠QAP=90°，
∴△ABC∽△QAP，
∴AB：QA=BC：AP，
∴

12

6-t

=

6

2t

，
解得t=

6

5

．
∴AP=2t=

12

5

，AQ=6-t=

24

5

．
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，
∵P（

12

5

，0）、Q（0，

24

5

）在此直線上，
∴

12 5 k+b=0 b= 24 5

，
解得

k=-2 b= 24 5

．
∴直線PQ的解析式為y=-2x+

24

5

．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、圖形面積的求法、軸對稱圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，綜合性較強，有一定難度．