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        1. 如圖,平面直角坐標(biāo)系中,在第一象限的矩形ABCO的邊OA在y正半軸上,OC在x正半軸上,點D是線段OC上一點,過點D作DE⊥AD交直線BC于點E,以A、D、E為頂點作矩形ADEF.
          (1)求證:△AOD∽△DCE;
          (2)若點A坐標(biāo)為(O,4),點C坐標(biāo)為(7,0).
          ①當(dāng)點D的坐標(biāo)為(5,0)時,若拋物線經(jīng)過A、F、B三點,求該拋物線的解析式;
          ②當(dāng)點D(k,0)是線段OC(不包括端點)上任意一點,則點F仍在①中所求的拋物線上嗎?請說明理由;
          ③當(dāng)點A的坐標(biāo)是(0,m),點C的坐標(biāo)是(n,0),當(dāng)點D在線段OC上運動時,是否了存在一條拋物線,使得點F始終落在該拋物線上?若存在,請直接寫出該拋物線的解析式(用含m、n表示);若不存在,請說明理由.
          (3)在第(2)題②的條件下,若點D(k,0)是在x軸上,且不在線段OC上的任意一點,其他條件不變,則點F是否還在①中所求的拋物線上?如果在,請以點D(k,0)在x負(fù)半軸上為例畫出示意圖(畫在備用圖上),并說明理由;如果不在,請舉反例說明.

          解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
          ∴∠ECD=∠ADE=∠AOD=90°,
          ∴∠ADO+∠EDC=90°,∠OAD+∠ADO=90°,
          ∴∠OAD=∠EDC
          ∴△AOD∽△DCE;
          (2)解:①過F作FH⊥OC角OC于H,交AB于N,
          由題意得,AB=OC=7,AO=BC=4,OD=5,CD=2
          ∵△AOD∽△DCE,
          ,即:
          ∴CE=,
          ∵四邊形ADEF是矩形,DE=AF,∠DAB+∠BAF=90°
          又∵∠OAD+∠DAB=90°
          ∴∠OAD=∠BAF,
          ∴△AFN≌△DEC
          ∴AN=DC=2,F(xiàn)N=EC=,
          ∴FH=,
          ∴F點的坐標(biāo)為(2,),
          由A(0.4),設(shè)A、F、B三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+4
          由F(2,)、B(7,4),
          ,解得:
          ∴過A、F、B三點的解析式為:y=-x2+x+4,
          ②理由是:由(2)中①可知,拋物線的解析式為:y=-x2+x+4,
          當(dāng)D(k,0)時,則OD=k,DC=7-k,
          同理,由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得:FN=CE=,AN=7-K,
          ∴F(7-k,4+),
          將x=7-k代入y=-x2+x+4,
          得y=,
          ∴點F仍在①中所求的拋物線上.
          (3)如圖,點F還在①中所求的拋物線上,
          理由是:過點F作直線FH⊥OC交OC于點H,交直線AB于N,
          由(2)中①可知,拋物線的表達(dá)式為y=-x2+x+4,
          點D(k,0),k<0時,則OD=-k,DC=7-k,
          同理,由△AOD∽△DCE和△AFN≌△DEC求得:FN=CE=,AN=DC=7-K,
          當(dāng)FN≥4時,點F在x軸的上方,
          FH=FN-4=--4,點F的縱坐標(biāo)是+4,
          當(dāng)FN<4時,點F在x軸的上方
          FH=4-FN=4+,點F的縱坐標(biāo)也是+4,
          故F(7-k,4+
          由(2)②可知點F在①中所求的拋物線上.

          分析:(1)利用矩形的性質(zhì)得到∠OAD=∠EDC后利用兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明即可;
          (2)過F作FH⊥OC角OC于H,交AB于N,利用△AOD∽△DCE得到比例式求得CE的長,從而求得AFN≌△DEC,利用全等三角形的性質(zhì)得到F點的坐標(biāo)后利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式即可得到結(jié)論;
          (3)利用以上兩個小題中證得的全等和相似分當(dāng)FN≥4時,點F在x軸的上方和當(dāng)FN<4時,點F在x軸的上方兩種情況求得點F的坐標(biāo)即可.
          點評:本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到的幾何知識與函數(shù)知識的結(jié)合的題目更是近幾年中考的熱點考題之一.在求有關(guān)存在性問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果.
          練習(xí)冊系列答案
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          1x
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          上運動.

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          3

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          a+2
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          S△CAD
          S△DGH
          =
          AD
          GH

          (3)如圖,若點D到CA、CO的距離相等,E為AO的中點,且EF∥CD交y軸于點F,交CA于M.求
          FC+2AE
          3AM
          的值.

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