Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=2x+2的圖象與x軸交于A，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0），（其中a＞0），直線l過動(dòng)點(diǎn)M（0，m）（0＜m＜2），且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點(diǎn)D、E，P點(diǎn)在y軸上（P點(diǎn)異于C點(diǎn)）滿足PE=CE，直線PD與x軸交于點(diǎn)Q，連接PA．

（1）寫出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，若△PAQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形（注：若△HNK滿足HN=2HK，則稱△HNK為以H為頂點(diǎn)的倍邊三角形），求出m的值；
（3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代數(shù)式表示）；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在直線解析式y(tǒng)=2x+2中，令y=0，得x=﹣1；x=0，得y=2，
∴A（﹣1，0），C（0，2）。
（2）當(dāng)0＜m＜1時(shí)，依題意畫出圖形，如圖1，

∵PE=CE，∴直線l是線段PC的垂直平分線。
∴MC=MP。
又C（0，2），M（0，m），∴P（0，2m﹣2）。
設(shè)直線l與y=2x+2交于點(diǎn)D，
令y=m，則x=，∴D（，m）。
設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，則有
，解得：。
∴直線DP的解析式為：y=﹣2x+2m﹣2。
令y=0，得x=m﹣1，∴Q（m﹣1，0）。
已知△PAQ是以P為頂點(diǎn)的倍邊三角形，由圖可知，PA=2PQ，
∴，即，
整理得：。
解得：m=（＞1，不合題意，舍去）或m=。
∴m=。
（3）當(dāng)1＜m＜2時(shí)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使CD•AQ=PQ•DE，
依題意畫出圖形，如圖2，

由（2）可知，OQ=m﹣1，OP=2m﹣2，
由勾股定理得：。
∵A（﹣1，0），Q（m﹣1，0），B（a，0），
∴AQ=m，AB=a+1。
∵OA=1，OC=2，由勾股定理得：CA=。
∵直線l∥x軸，∴△CDE∽△CAB。
∴。
又∵CD•AQ=PQ•DE，∴。
∴，即，解得：。
∵1＜m＜2，∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，m≥2，m不存在；當(dāng)a＞1時(shí)，。
∴當(dāng)1＜m＜2時(shí)，若a＞1，則存在實(shí)數(shù)，使CD•AQ=PQ•DE；若0＜a≤1，則m不存在。

試題分析：（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求解；
（2）如圖1所示，解題關(guān)鍵是求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后利用PA=2PQ，列方程求解。
（3）如圖2所示，利用相似三角形，將已知的比例式轉(zhuǎn)化為：，據(jù)此列方程求出m的值。