Question

已知正方形AOCB和正方形GOHP的一個頂點(diǎn)O重合，邊OA在OG上，邊OC在OH上，正方形AOCB的邊長為2．現(xiàn)將正方形AOCB繞O點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在OP直線上時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，AB邊交OP于點(diǎn)M，BC邊交OH于點(diǎn)N．
（1）求邊OA在整個旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)MN和AC平行時，求正方形AOCB旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）設(shè)△MBN的周長為k，在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，k值是否有變化？若無變化，請求出k的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出旋轉(zhuǎn)的圓心角度和扇形的半徑，根據(jù)扇形面積公式求出即可；
（2）求出BM=BN，推出AM=AN，證△OAM≌△OCN，推出∠AOM=∠CON，即可求出答案；
（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出AE=CN，求出NM=AM+CN，代入三角形的周長即可求出k=AB+BC=2+2=4．

解答：解：（1）∵四邊形OGPH和四邊形OACB是正方形，
∴∠GOP=∠POH=45°，OA=OC=2，
∴當(dāng)A點(diǎn)第一次落在OP直線上，旋轉(zhuǎn)的圖形（扇形）的圓心角的度數(shù)是45°，半徑是2，
∴邊OA在整個旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積是

45•π•22

360

=

π

2

．

（2）解：∵M(jìn)N∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
由旋轉(zhuǎn)可知：∠AOM=∠OCN，
又∵BA=BC，
∴AM=CN，
在△OAM和△OCN中

OA=OC ∠OAM=∠OCN AM=CN

∴△OAM≌△OCN（SAS），
∴∠AOM=∠CON，
∴∠AOM=

1

2

（90°-45°）=22.5°．

（3）k值無變化．   
延長BA交OG于E點(diǎn)，則∠AOE=45°-∠AOM=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON，
又∵OA=OC，∠OAE=∠CON，
在△OAE和△OCN中，

∠EAO=∠OCN OA=OC ∠EOA=∠CON

，
∴△OAE≌△OCN（ASA），
∴OE=ON，AE=CN，
在△OME和△OMN中，

OE=ON ∠EOM=∠NOM=45° OM=OM

，
∴△OME≌△OMN（SAS），
∴MN=ME=AM+AE，
∴MN=AM+CN，
∵△BMN的周長是k，
∴k=BM+BN+MN=BM+BN+AM+CN=AB+BC=2+2=4，
即k=4，
∴在旋轉(zhuǎn)正方形OABC的過程中，k值無變化．

點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力．