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        1. 【題目】如圖,四邊形ABCD內接于圓O,∠BAD=90°,AC為直徑,過點A作圓O的切線交CB的延長線于點E,過AC的三等分點F(靠近點C)作CE的平行線交AB于點G,連結CG

          1)求證:AB=CD;

          2)求證:CD2=BEBC

          3)當CG=,BE=時,求CD的長.

          【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3

          【解析】試題分析:(1)根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形ABCD是矩形,可得結論;

          (2)證明ABE∽△CBA,列比例式可得結論;

          (3)根據(jù)FAC的三等分點得:AG=2BG,設BG=x,則AG=2x,代入(2)的結論解出x的值,可得CD的長.

          試題解析:證明:(1)∵ACO的直徑,∴∠ABC=∠ADC=90°,∵∠BAD=90°,∴四邊形ABCD是矩形,AB=CD;

          (2)∵AEO的切線,AEAC,∴∠EAB+∠BAC=90°,∵∠BAC+∠ACB=90°,∴∠EAB=∠ACB,∵∠ABC=90°,∴△ABE∽△CBA,∴,∴AB2=BEBC,由(1)知:AB=CD,∴CD2=BEBC

          (3)∵FAC的三等分點,AF=2FC,∵FGBE,∴△AFG∽△ACB,∴ =2,BG=x,則AG=2x,∴AB=3x,在Rt△BCG中,CG=,∴BC2=(2x2,BC=,由(2)得:AB2=BEBC,(3x2=,4x4+x2﹣3=0,(x2+1)(4x2﹣3)=0,x,∵x>0,∴x=,∴CD=AB=3x=

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