Question

如圖1，拋物線y=－x²＋bx＋c的頂點(diǎn)為Q，與x軸交于A（－1，0）、B(5，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
(2)在該拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出點(diǎn)P的位置，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，若點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥x軸，垂足為E．
①有一個(gè)同學(xué)說：“在第一象限拋物線上的所有點(diǎn)中，拋物線的頂點(diǎn)Q與x軸相距最遠(yuǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)Q時(shí)，折線D－E－O的長(zhǎng)度最長(zhǎng)”，這個(gè)同學(xué)的說法正確嗎？請(qǐng)說明理由．
②若DE與直線BC交于點(diǎn)F．試探究：四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

（1）y-（x-2）²+9，Q（2，9）；（2）（2，3）；（3）

試題分析：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x²+bx+c中即可確定b、c的值，然后配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．求得C點(diǎn)的坐標(biāo)后然后確定直線BC的解析式，最后求得其與x=2與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，求得L的最大值后與當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時(shí)L=9+2=11＜相比較即可得到答案；
②假設(shè)四邊形DCEB為平行四邊形，則可得到EF=DF，CF=BF．然后根據(jù)DE∥y軸求得DF，得到DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，從而否定是平行四邊形．
（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x2+bx+c中，得
，解得
∴y=-x²+4x+5．
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴Q（2，9）．

（2）如圖1，連接BC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．
∵AC長(zhǎng)為定值，∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小，只需PA+PC最小．
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=2的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)B（5，0），拋物線y=-x2+4x+5與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．
∴由幾何知識(shí)可知，PA+PC=PB+PC為最小．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5，將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴y=-x+5，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．
（3）①這個(gè)同學(xué)的說法不正確．
∵設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則L=?t²+4t+5+t=?t²+5t+5=?(t?)²+，
∵a＜0，
∴當(dāng)t=時(shí)，L最大值=．
而當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時(shí)，L=9+2=11＜，
∴該該同學(xué)的說法不正確．
②四邊形DCEB不能為平行四邊形．
如圖2，若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y軸，
∴，即OE=BE=2.5．
當(dāng)xF=2.5時(shí)，yF=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
當(dāng)xD=2.5時(shí)，yD=?(2.5?2)²+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．