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        1. 【題目】(1)如圖1,已知:在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE.

          (2)如圖2,將(1)中的條件改為:在ABC中,AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上,并且∠BDA=AEC=BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          (3)拓展與應(yīng)用:如圖3,D、ED、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)

          互不重合),點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn),且ABFACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=AEC=BAC,試判斷DEF的形狀.

          【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)成立,證明見(jiàn)解析;(3)DEF是等邊三角形.證明見(jiàn)解析.

          【解析】試題分析:(1)利用已知得出∠CAE=∠ABD,進(jìn)而利用AAS得出則△ABD≌△CAE,即可得出DE=BD+CE;

          2)根據(jù)∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,得出∠CAE=∠ABD,在△ADB△CEA中,根據(jù)AAS證出△ADB≌△CEA,從而得出AE=BD,AD=CE,即可證出DE=BD+CE;

          3)與前面的結(jié)論得到△ADB≌△CEA,則BD=AE,∠DBA=∠CAE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABF=∠CAF=60°,則∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,則∠DBF=∠FAE,

          利用“SAS”可判斷△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△DEF為等邊三角形.則

          DF=EF

          解:(1DE=BD+CE.理由如下:

          如圖1∵BD⊥l,CE⊥l

          ∴∠BDA=∠AEC=90°

          ∵∠BAC=90°,

          ∴∠BAD+∠CAE=90°,∠BAD+∠ABD=90°

          ∴∠CAE=∠ABD

          △ABD△CAE中,

          ∴△ABD≌△CAEAAS

          ∴BD=AE,AD=CE

          ∵DE=AD+AE,

          ∴DE=CE+BD

          2)如圖2,∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α

          ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,

          ∴∠CAE=∠ABD

          △ADB△CEA中,

          ,

          ∴△ADB≌△CEAAAS),

          ∴AE=BD,AD=CE,

          ∴BD+CE=AE+AD=DE;

          3DF=EF.理由如下:

          由(2)知,△ADB≌△CAE

          BD=EA,∠DBA=∠CAE,

          ∵△ABF△ACF均為等邊三角形,

          ∴∠ABF=∠CAF=60°,

          ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF

          ∴∠DBF=∠FAE,

          ∵BF=AF

          △DBF△EAF中,

          ,

          ∴△DBF≌△EAFSAS),

          ∴DF=EF,∠BFD=∠AFE

          ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,

          ∴△DEF為等邊三角形.

          ∴DF=EF

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          115

          110

          115

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          3.6

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