Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)F在AD延長(zhǎng)線(xiàn)上，且DF=DC，M為AB邊上一點(diǎn)，N為MD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線(xiàn)CF上（點(diǎn)E、C不重合）．
（1）如圖1，點(diǎn)M、A重合，E為CF的中點(diǎn)，試探究BN與NE的位置關(guān)系及

BM

CE

的值，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，點(diǎn)M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF于G，先判斷EG是△CDF的中位線(xiàn)，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EG=

1

2

CD=a，再求出AN=ND=DG=a，從而得到AB=NG，AN=EG，然后利用“邊角邊”證明△NGE和△BAN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，再求出∠1+∠3=90°，從而得到BN⊥NE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)表示出CE，然后求出BM、CE的比值即可；
（2）延長(zhǎng)BN交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接BE、GE，過(guò)E作EH⊥CE，交CD于點(diǎn)H，先利用“角角邊”證明△BMN和△GDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BM=DG，BN=GN，從而得到BN=NE=GN，然后求出∠BEG=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠BEC=∠GEH，再求出△CEH是等腰直角三角形，求出∠BCE=∠GHE=135°，然后利用“角邊角”證明△ECB和△EHG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=GE，GH=BC，然后根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得BN⊥NE，求出CH=BM，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BM、CE的比值即可．

解答：解：（1）BN與NE的位置關(guān)系是BN⊥NE，

BM

CE

=

2

．理由如下：
如圖1，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AF于G，則EG是△CDF的中位線(xiàn)，
∴EG=

1

2

CD=a，DG=

1

2

DF=

1

2

CD=a，
∵N為MD的中點(diǎn)，
∴AN=ND=a，
∴AB=NG=2a，AN=EG=a，
在△NGE和△BAN中，

AB=NG ∠A=∠EGN=90° AN=EG

，
∴△NGE≌△BAN（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠BNE=180°-90°=90°，
∴BN⊥NE；
∵CD=DF，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴CE=

1

2

CF=

1

2

×

2

×2a=

2

a，
∴

BM

CE

=

2a

2 a

=

2

；

（2）在（1）中得到的兩個(gè)結(jié)論均成立．理由如下：
如圖2，延長(zhǎng)BN交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，連接BE、GE，過(guò)E作EH⊥CE，交CD于點(diǎn)H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CG，
∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN，
∵N為MD的中點(diǎn)，
∴MN=DN，
在△BMN和△GDN中，

∠MBN=∠DGN ∠BMN=∠GDN MN=DN

，
∴△BMN≌△GDN（AAS），
∴MB=DG，BN=GN，
∵BN=NE，
∴BN=NE=GN，
∴∠BEG=90°，
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°，
∴∠BEC+∠BEH=∠CEH=90°，
∠GEH+∠BEH=∠BEG=90°，
∴∠BEC=∠GEH，
∵DF=DC，∠CDF=90°，
∴∠DCF=45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴CE=HE，
又∵∠BCE=90°+45°=135°，
∠GHE=180°-45°=135°，
∴∠BCE=∠GHE，
在△ECB和△EHG中，

∠BEC=∠GEH CE=HE ∠BCE=∠GHE

，
∴△ECB≌△EHG（ASA），
∴BE=GE，GH=BC，
∵BN=NG，
∴BN⊥NE，
∵CH=CD-DH，
BM=DG=GH-DH=BC-DH，
∴CH=BM，
∴

BM

CE

=

CH

CE

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形與等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是解題的難點(diǎn)．