Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，延長AB至E，延長CD至F，BE=DF，連接EF，與BC、AD分別相交于P、Q兩點．

（1）求證：CP=AQ；
（2）若BP=1，PQ=2 ，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠E=∠F，

∵BE=DF，

∴AE=CF，

在△CFP和△AEQ中， ，

∴△CFP≌△AEQ（ASA），

∴CP=AQ

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠PBE=∠A=90°，

∵∠AEF=45°，

∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，

∴BE=BP=1，AQ=AE，

∴PE= BP= ，

∴EQ=PE+PQ= +2 =3 ，

∴AQ=AE=3，

∴AB=AE﹣BE=2，

∵CP=AQ，AD=BC，

∴DQ=BP=1，

∴AD=AQ+DQ=3+1=4，

∴矩形ABCD的面積=ABAD=2×4=8

【解析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，證出∠E=∠F，AE=CF，由ASA證明△CFP≌△AEQ，即可得出結(jié)論；（2）證明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE= BP= ，得出EQ=PE+PQ=3 ，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面積．本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．