Question

如圖，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，AD=2，AE=1．求證：S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的兩個(gè)根．

Answer 1

分析：此題要證明S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的兩個(gè)根，首先需求得兩個(gè)三角形的面積，再進(jìn)一步根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明．根據(jù)切割線定理，即可求得AB的長，從而求得圓的半徑，則可以求得三角形AOD的面積；根據(jù)勾股定理求得CD的長，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得BH的長，從而求得三角形BCD的面積．

解答：證明：∵AD是切線，
∴AD²=AE•AB．
由AD=2，AE=1，得AB=4．
從而OD=

3

2

．
∵∠ABC=90°，
∴AC²=BC²+AB²，且BC是⊙O的切線．
∵CD是⊙O的切線，
∴BC=CD．
∴（2+BC）²=BC²+4²，
解得BC=3．
∵OD⊥AD，
∴S_△AOD=

1

2

AD•OD=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．
作BH⊥AC于H，則Rt△AOD∽Rt△ABH．
∴

OD

BH

=

AO

AB

，
即

3 2

BH

=

1+ 3 2

4

，
∴BH=

12

5

．
∴S_△BCD=CD•BH=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

．
而S_△AOD+S_△BCD=

3

2

+

18

5

=

51

10

，
S_△AOD•S_△BCD=

3

2

×

18

5

=

54

10

，
∴S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的兩個(gè)根．

點(diǎn)評：此題綜合運(yùn)用了切割線定理、切線長定理、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．