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        1. 【題目】如圖,拋物線y=ax2+c(a≠0)經(jīng)過C(2,0),D(0,﹣1)兩點,并與直線y=kx交于A、B兩點,直線l過點E(0,﹣2)且平行于x軸,過A、B兩點分別作直線l的垂線,垂足分別為點M、N.

          (1)求此拋物線的解析式;
          (2)求證:AO=AM;
          (3)探究:
          ①當k=0時,直線y=kx與x軸重合,求出此時 + 的值;
          ②試說明無論k取何值, + 的值都等于同一個常數(shù).

          【答案】
          (1)

          解:∵拋物線y=ax2+c(a≠0)經(jīng)過C(2,0),D(0,﹣1),

          解得 ,

          所以,拋物線的解析式為y= x2﹣1;


          (2)

          證明:設點A的坐標為(m, m2﹣1),

          則AO= = m2+1,

          ∵直線l過點E(0,﹣2)且平行于x軸,

          ∴點M的縱坐標為﹣2,

          ∴AM= m2﹣1﹣(﹣2)= m2+1,

          ∴AO=AM;


          (3)

          ①k=0時,直線y=kx與x軸重合,點A、B在x軸上,

          ∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2,

          + = + =1;

          ②k取任何值時,設點A(x1, x12﹣1),B(x2, x22﹣1),

          + = ,

          聯(lián)立 ,

          消掉y得,x2﹣4kx﹣4=0,

          由根與系數(shù)的關系得,x1+x2=4k,x1x2=﹣4,

          所以,x12+x22=(x1+x22﹣2x1x2=16k2+8,

          x12x22=16,

          + = =1,

          ∴無論k取何值, + 的值都等于同一個常數(shù)1.


          【解析】(1)把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c,即可得解;(2)根據(jù)拋物線解析式設出點A的坐標,然后求出AO、AM的長,即可得證;(3)①k=0時,求出AM、BN的長,然后代入 + 計算即可得解;②設點A(x1 x12﹣1),B(x2 , x22﹣1),然后表示出 + ,再聯(lián)立拋物線與直線解析式,消掉未知數(shù)y得到關于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系表示出x1+x2 , x12 , 并求出x12+x22 , x12x22 , 然后代入進行計算即可得解.
          【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的圖象的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點.

          練習冊系列答案
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          A.5
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          C. πcm2
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          D.2

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