Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上且位于點(diǎn)的左側(cè)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，若為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的特點(diǎn)，找到B的坐標(biāo)，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，便可求解．

(2)直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式成方程組，求出E的坐標(biāo)，計(jì)算出AE的長(zhǎng)度，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，故分情況討論或從而找到P的坐標(biāo)．

(3)存在兩種情況：

①取點(diǎn)與點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線(xiàn)于點(diǎn),

由，，找到M的坐標(biāo)．

②取點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)和平行關(guān)系找到直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式

聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式成方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，且過(guò)點(diǎn)，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

將、、代入，得：

，解得：，

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為.

（2）聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，

解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴.

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，.

∵直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為，∴.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.

∵以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，∴或，

∴或，解得：或,

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

∵，∴存在兩種情況（如圖2）.

①取點(diǎn)與點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線(xiàn)于點(diǎn),

∵，，∴此時(shí)為等腰直角三角形，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②取點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)，

∵點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，，∴，，

∴為等腰直角三角形，

∵軸，∴為等腰直角三角形.

∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴直線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為，

聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式成方程組，得：，

解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.