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        1. 【題目】已知四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°,∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長線)于E,F(xiàn). 當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(如圖1),易證AE+CF=EF;
          當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時,在圖2和圖3這兩種情況下,上述結(jié)論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想,不需證明.

          【答案】解:∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF, 在△ABE和△CBF中,
          ,
          ∴△ABE≌△CBF(SAS);
          ∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;
          ∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
          ∴∠ABE=∠CBF=30°,
          ∴AE= BE,CF= BF;
          ∵∠MBN=60°,BE=BF,
          ∴△BEF為等邊三角形;
          ∴AE+CF= BE+ BF=BE=EF;
          圖2成立,圖3不成立.
          證明圖2.
          延長DC至點K,使CK=AE,連接BK,

          在△BAE和△BCK中,

          則△BAE≌△BCK,
          ∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
          ∵∠FBE=60°,∠ABC=120°,
          ∴∠FBC+∠ABE=60°,
          ∴∠FBC+∠KBC=60°,
          ∴∠KBF=∠FBE=60°,
          在△KBF和△EBF中,

          ∴△KBF≌△EBF,
          ∴KF=EF,
          ∴KC+CF=EF,
          即AE+CF=EF.
          圖3不成立,
          AE、CF、EF的關(guān)系是AE﹣CF=EF.

          【解析】根據(jù)已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF,從而得出對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊相等,從而得出∠ABE=∠CBF=30°,△BEF為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)及邊與邊之間的關(guān)系,即可推出AE+CF=EF. 同理圖2可證明是成立的,圖3不成立.

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