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        1. 【題目】如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)A,C在x軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,m)(m>0),線段AB與y軸相交于點(diǎn)D,以P(1,0)為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B,D.

          (1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)(用m表示);
          (2)求拋物線的解析式;
          (3)設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn),連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F,試證明:FC(AC+EC)為定值.

          【答案】
          (1)解:由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC為等腰直角三角形,

          ∴AC=BC=m,OA=m﹣3,

          ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3﹣m,0)


          (2)解:∵∠ODA=∠OAD=45°

          ∴OD=OA=m﹣3,

          則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,m﹣3).

          又拋物線頂點(diǎn)為P(1,0),且過(guò)點(diǎn)B、D,

          所以可設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)2,

          得:

          解得

          ∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1


          (3)解:方法一:

          證明:過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N,

          設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(x,x2﹣2x+1),

          則QM=CN=(x﹣1)2,MC=QN=3﹣x.

          ∵QM∥CE

          ∴△PQM∽△PEC

          ,得EC=2(x﹣1)

          ∵QN∥FC

          ∴△BQN∽△BFC

          ,得

          又∵AC=4

          ∴FC(AC+EC)= [4+2(x﹣1)]= (2x+2)= ×2×(x+1)=8

          即FC(AC+EC)為定值8.

          方法二:

          設(shè)Q(t,t2﹣2t+1),B(3,4),

          設(shè)直線BQ:y=kx+b,

          ∴l(xiāng)BQ:y=(t+1)x+1﹣3t,

          把y=0代入y=(t+1)x+1﹣3t,

          ∴x= ,即F( ,0),

          ∵P(1,0),Q(t,t2﹣2t+1),

          ∴l(xiāng)PQ:y=(t﹣1)x+1﹣t,

          把x=3代入,∴y=2t﹣2,即E(3,2t﹣2),

          ∴FC(AC+EC)=(CX﹣FX)(CX﹣AX+EY﹣CY)=(3﹣ )(4+2t﹣2)=8.


          【解析】(1)求A點(diǎn)坐標(biāo)可先求OA,利用線段之差即可求出;(2)先把拋物線解析式設(shè)成頂點(diǎn)式,再把B(3,m)、D點(diǎn)坐標(biāo)(0,m-3)代入即可;(3) 線段的積可利用相似的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例,轉(zhuǎn)化為其他線段的積.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          ③如果BCAD,則有∠2=45°;

          ④如果∠CAD=150°,必有∠4=C;

          正確的有( )

          A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

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          ①HO=OF ②0F2=ON·OB③HM=2MG ④S△HOM= ,其中正確的個(gè)數(shù)有( )


          A.1
          B.2
          C.3
          D.4

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          (1)本次調(diào)查中,張老師一共調(diào)查了 名同學(xué),其中C類女生有 名,D類男生有 名;

          (2)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

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