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        1. 【題目】如圖,已知△ABC為直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,點A,C在x軸上,點B坐標為(3,m)(m>0),線段AB與y軸相交于點D,以P(1,0)為頂點的拋物線過點B,D.

          (1)求點A的坐標(用m表示);
          (2)求拋物線的解析式;
          (3)設(shè)點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點,連接PQ并延長交BC于點E,連接BQ并延長交AC于點F,試證明:FC(AC+EC)為定值.

          【答案】
          (1)解:由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC為等腰直角三角形,

          ∴AC=BC=m,OA=m﹣3,

          ∴點A的坐標是(3﹣m,0)


          (2)解:∵∠ODA=∠OAD=45°

          ∴OD=OA=m﹣3,

          則點D的坐標是(0,m﹣3).

          又拋物線頂點為P(1,0),且過點B、D,

          所以可設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)2,

          得:

          解得

          ∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1


          (3)解:方法一:

          證明:過點Q作QM⊥AC于點M,過點Q作QN⊥BC于點N,

          設(shè)點Q的坐標是(x,x2﹣2x+1),

          則QM=CN=(x﹣1)2,MC=QN=3﹣x.

          ∵QM∥CE

          ∴△PQM∽△PEC

          ,得EC=2(x﹣1)

          ∵QN∥FC

          ∴△BQN∽△BFC

          ,得

          又∵AC=4

          ∴FC(AC+EC)= [4+2(x﹣1)]= (2x+2)= ×2×(x+1)=8

          即FC(AC+EC)為定值8.

          方法二:

          設(shè)Q(t,t2﹣2t+1),B(3,4),

          設(shè)直線BQ:y=kx+b,

          ∴l(xiāng)BQ:y=(t+1)x+1﹣3t,

          把y=0代入y=(t+1)x+1﹣3t,

          ∴x= ,即F( ,0),

          ∵P(1,0),Q(t,t2﹣2t+1),

          ∴l(xiāng)PQ:y=(t﹣1)x+1﹣t,

          把x=3代入,∴y=2t﹣2,即E(3,2t﹣2),

          ∴FC(AC+EC)=(CX﹣FX)(CX﹣AX+EY﹣CY)=(3﹣ )(4+2t﹣2)=8.


          【解析】(1)求A點坐標可先求OA,利用線段之差即可求出;(2)先把拋物線解析式設(shè)成頂點式,再把B(3,m)、D點坐標(0,m-3)代入即可;(3) 線段的積可利用相似的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例,轉(zhuǎn)化為其他線段的積.

          練習(xí)冊系列答案
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          ②∠BAE+CAD =180°;

          ③如果BCAD,則有∠2=45°;

          ④如果∠CAD=150°,必有∠4=C;

          正確的有( )

          A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

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          A. 10 B. 12 C. 15 D. 17

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          ①HO=OF ②0F2=ON·OB③HM=2MG ④S△HOM= ,其中正確的個數(shù)有( )


          A.1
          B.2
          C.3
          D.4

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          A. 55cmB. 75cmC. 5575cmD. 5075cm

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          (1)本次調(diào)查中,張老師一共調(diào)查了 名同學(xué),其中C類女生有 名,D類男生有 名;

          (2)將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;

          (3)為了共同進步,張老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一位同學(xué)進行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.

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