Question

如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．

（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF=OA；
（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=BG．

Answer 1

解：（1）∵，∴。
∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC�！唷鰿EF∽△ADF。
∴�！�。∴。
（2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF。
又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線．∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD。
又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD。∴AD=AF。
在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得：，∴AF=OA。
（3）證明：連接OE，

∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)。
又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線。
∴OE∥CD，OE=CD。∴△OFE∽△CFD。
∴�！�。
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD�！唷鱁GF∽△ECD�！�。
在Rt△FGC中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF。
又∵CD=BC，∴�！��！郈G=BG。

試題分析：（1）利用相似三角形的性質(zhì)求得EF于DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解。
（2）利用角之間的關(guān)系到證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在Rt△AOD中，利用勾股定理可以證得。
（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得。