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        1. 【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三點(diǎn).

          (1)求該二次函數(shù)的解析式;

          (2)點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn),且滿足DBA=CAO(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

          (3)點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連接PA分別交BC,y軸與點(diǎn)E、F,若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2,求S1-S2的最大值.

          【答案】

          【解析】

          試題分析:(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

          (2)當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí),則可知當(dāng)CDAB時(shí),滿足條件,由對稱性可求得D點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí),可證得BDAC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式,再聯(lián)立直線BD和拋物線的解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo);

          (3)過點(diǎn)P作PHy軸交直線BC于點(diǎn)H,可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),從而可表示出PH的長,可表示出PEB的面積,進(jìn)一步可表示出直線AP的解析式,可求得F點(diǎn)的坐標(biāo),聯(lián)立直線BC和PA的解析式,可表示出E點(diǎn)橫坐標(biāo),從而可表示出CEF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S1-S2的最大值.

          試題解析:(1)由題意可得,解得,

          拋物線解析式為y=-;

          (2)當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí),過C作CDAB交拋物線于點(diǎn)D,如圖1,

          A、B關(guān)于對稱軸對稱,C、D關(guān)于對稱軸對稱,

          四邊形ABDC為等腰梯形,

          ∴∠CAO=DBA,即點(diǎn)D滿足條件,

          D(3,2);

          當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí),

          ∵∠DBA=CAO,

          BDAC,

          C(0,2),

          可設(shè)直線AC解析式為y=kx+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,

          直線AC解析式為y=2x+2,

          可設(shè)直線BD解析式為y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,

          直線BD解析式為y=2x-8,

          聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得

          ,解得,

          D(-5,-18);

          綜上可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,2)或(-5,-18);

          (3)過點(diǎn)P作PHy軸交直線BC于點(diǎn)H,如圖2,

          設(shè)P(t,-t+2),

          由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=-

          H(t,-),

          PH=yP-yH=-

          =-,

          設(shè)直線AP的解析式為y=px+q,

          ,解得

          直線AP的解析式為y=(-t+2)(x+1),令x=0可得y=2-t,

          F(0,2-t),

          CF=2-(2-t)=t,

          聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得

          ,解得x=,即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

          S1=PH(xB-xE)=(-t2+2t)(5-),S2=,

          S1-S2=(-t2+2t)(5-)-,=-t2+5t=-(t-2+,

          當(dāng)t=時(shí),有S1-S2有最大值,最大值為

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          (2)若OCAC,求OAC的面積;

          (3)拋物線C2的對稱軸為l,頂點(diǎn)為M,在(2)的條件下:

          點(diǎn)P為拋物線C2對稱軸l上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)PAC的周長最小時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);

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