Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=9cm，CD=3cm，AD=6cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（P、Q兩點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)即終止），設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）當(dāng)DQ=AP時(shí)，四邊形APQD是平行四邊形，求出此時(shí)t的值；
（2）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等邊三角形時(shí)，求t的值；
（3）試問(wèn)是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，求出t值；
（2）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等邊三角形時(shí)，即Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，t值為3秒；
（3）先假設(shè)存在，求一下t的值，若符合題意則存在，不合題意則不存在．

解答：解：（1）∵四邊形APQD是平行四邊形，
∴DQ=AP，即3-t=2t，解得t=1（s），

（2）當(dāng)PQ將梯形ABCD分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)等邊三角形時(shí)，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，即
9-2t=3，解得t=3；

（3）假設(shè)存在這樣的t值，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，即S_梯形APQD=S_梯形BPQC，
過(guò)點(diǎn)DDE⊥AB，DF∥BC，
∴四邊形BCDF是平行四邊形，
∵AB=9cm，CD=3cm，AF=AB-BF=AB-CD=6cm，AD=BC=DF=6cm，
∴△ADF是等邊三角形，
∴由勾股定理得DE=3

3

，

3 3

2

(3-t+2t)=

3 3

2

(t+9-2t)，解得，t=3，
∴t=3時(shí)，四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．即（2）中的情況．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)的應(yīng)用．還考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，分類討論的思想．