Question

（2013•舟山）小明在做課本“目標(biāo)與評(píng)定”中的一道題：如圖1，直線a，b所成的角跑到畫板外面去了，你有什么辦法量出這兩條直線所成的角的度數(shù)？

（1）①請(qǐng)幫小明在圖2的畫板內(nèi)畫出你的測(cè)量方案圖（簡(jiǎn)要說明畫法過程）；
     ②說出該畫法依據(jù)的定理．
（2）小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了更深入的探究，想到兩個(gè)操作：
①在圖3的畫板內(nèi)，在直線a與直線b上各取一點(diǎn)，使這兩點(diǎn)與直線a、b的交點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形（其中交點(diǎn)為頂角的頂點(diǎn)），畫出該等腰三角形在畫板內(nèi)的部分．
②在圖3的畫板內(nèi)，作出“直線a、b所成的跑到畫板外面去的角”的平分線（在畫板內(nèi)的部分），只要求作出圖形，并保留作圖痕跡．
請(qǐng)你幫小明完成上面兩個(gè)操作過程．（必須要有方案圖，所有的線不能畫到畫板外，只能畫在畫板內(nèi)）

Answer 1

分析：（1）方法一：利用平行線的性質(zhì)；方法二：利用三角形內(nèi)角和定理；
（2）首先作等腰三角形△PBD，然后延長(zhǎng)BD交直線a于點(diǎn)A，則ABPQ就是所求作的圖形．作圖依據(jù)是等腰三角形的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)；
（3）作出線段AB的垂直平分線EF，由等腰三角形的性質(zhì)可知，EF是頂角的平分線，故EF即為所求作的圖形．

解答：解：（1）方法一：
①如圖2，畫PC∥a，量出直線b與PC的夾角度數(shù)，
即為直線a，b所成角的度數(shù)，
②依據(jù)：兩直線平行，同位角相等，
方法二：
①如圖2，在直線a，b上各取一點(diǎn)A，B，連結(jié)AB，測(cè)得∠1，∠2的度數(shù)，
則180°-∠1-∠2即為直線a，b所成角的度數(shù)；
②依據(jù)：三角形內(nèi)角和為180°；

（2）如圖3，以P為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直線b，PC于點(diǎn)B，D，連結(jié)BD并延長(zhǎng)交直線a于點(diǎn)A，則ABPQ就是所求作的圖形；

（3）如圖3，作線段AB的垂直平分線EF，則EF就是所求作的線．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及到的幾何基本作圖包括：（1）過直線外一點(diǎn)作直線的平行線，（2）作線段的垂直平分線；涉及到的考點(diǎn)包括：（1）平行線的性質(zhì)，（2）等腰三角形的性質(zhì)，（3）三角形內(nèi)角和定理，（4）垂直平分線的性質(zhì)等．本題借助實(shí)際問題場(chǎng)景考查了學(xué)生的幾何基本作圖能力，是一道好題．題目篇幅較長(zhǎng)，需要仔細(xì)閱讀，理解題意，正確作答．