Question

【題目】（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y =－2x－1與y軸交于點(diǎn)A，與直線y =－x交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C．

（1）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為Q．

①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（－1＜t＜1），當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQC面積最大，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x-1（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+，1+）或（1-，1-）②2

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線y =－2x－1與y軸交于點(diǎn)A，與直線y =－x交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，構(gòu)造方程組可求A、B、C的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)可求解析式；

（2）①如圖1，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，），根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)知PQ在直線y=x上，因此可求得m的值，即可求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2 - t - 1）．過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線y = - x于點(diǎn)D，則D（t，- t）．分別過點(diǎn)B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分別為點(diǎn)E，F．可以表示出PD的長的關(guān)系式，以及BE+CF值，從而表示出，然后可求菱形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值的性質(zhì)求得四邊形的最大面積．

試題解析：解：（1）解方程組得

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，1）

∵點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1）．

又∵點(diǎn)A是直線y=-2x-1與y軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-1）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∴

解得

∴拋物線的解析式為y=x2-x-1．

（2）①如圖1，∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2-m-1）．

當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí)，O為菱形的中心，

∴PQ⊥BC，即點(diǎn)P，Q在直線y = x上，

∴m = m2-m-1，

解得m = 1±．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+，1+）或（1-，1-）．

②方法一：

如圖2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2 - t - 1）．

過點(diǎn)P作PD∥y軸，交直線y = - x于點(diǎn)D，則D（t，- t）．

分別過點(diǎn)B，C作BE⊥PD，CF⊥PD，垂足分別為點(diǎn)E，F．

∴PD = - t -（ t2 - t -1）= - t2 + 1，BE + CF = 2，

∴＝PD·BE +PD·CF

＝PD·（BE + CF）

＝（- t2 + 1）×2

＝- t2 + 1．

∴＝-2t2+2．

∴當(dāng)t＝0時(shí)，有最大值2．

方法二：

如圖3，過點(diǎn)B作y軸的平行線，過點(diǎn)C作x軸的平行線，兩直線交于點(diǎn)D，連接PD．

∴S△PBC＝S△BDC-S△PBD-S△PDC

＝×2×2-×2（t+1）-×2（t2-t-1+1）

＝-t2+1．

∴＝-2t2+2．

∴當(dāng)t＝0時(shí)，有最大值2．

方法三：如圖4，過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為E，作PF∥x軸交BC于點(diǎn)F．

∴PE=EF．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2-t-1），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-t2+t+1，t2-t-1）．

∴PF=-t2+t+1-t=-t2+1．

∴PE＝（-t2+1）．

∴S△PBC＝BC·PE＝××（-t2+1）

＝-t2+1．

∴＝-2t2+2．

∴當(dāng)t＝0時(shí)，有最大值2．