Question

【題目】某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成，如圖，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1與O2C、O2D分別切于點(diǎn)A、B，已知∠CO2D＝60°，E、F是直線O1O2與⊙O1、扇形O2CD的兩個(gè)交點(diǎn)，且EF＝24cm，設(shè)⊙O1的半徑為xcm，

（1）用含x的代數(shù)式表示扇形O2CD的半徑；

（2）若⊙O1和扇形O2CD兩個(gè)區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當(dāng)⊙O1的半徑為多少時(shí)，該玩具的制作成本最小？

Answer 1

【答案】（1）扇形O2CD的半徑為（24-3x）cm；（2）當(dāng)⊙O1的半徑為4cm時(shí)，該玩具的制作成本最�。�

【解析】

（1）連接O1A．利用切線的性質(zhì)知∠AO2O1=∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用“30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得O1O2=2xcm；最后由圖形中線段間的和差關(guān)系求得扇形O2CD的半徑FO2為：EF-EO1-O1O2=（24-3x）cm；
（2）設(shè)該玩具的制作成本為y元，則根據(jù)圓形的面積公式和扇形的面積公式列出y與x間的函數(shù)關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的最值即可求得結(jié)果．

解：（1）連接O1A．

∵⊙O1與O2C、O2D分別切一點(diǎn)A、B，
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，
∴∠AO2O1=∠CO2D=30°，
∴在Rt△O1AO2中，O1O2=2AO1=2x cm．
∴FO2=EF-EO1-O1O2=（24-3x）cm，

即扇形O2CD的半徑為（24-3x）cm．
（2）設(shè)該玩具的制作成本為y元，則
y=0.45πx2+0.06×=0.9πx2-7.2πx+28.8π=0.9π（x-4）2+14.4π，
所以當(dāng)x=4時(shí)，y的值最�。�
答：當(dāng)⊙O1的半徑為4cm時(shí)，該玩具的制作成本最�。�