Question

【題目】如果P 是正方形ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足∠APB＋∠DPC＝180°，那么稱點(diǎn)P 是正方形 ABCD 的“對(duì)補(bǔ)點(diǎn)”.

（1）如圖1，正方形ABCD 的對(duì)角線AC，BD 交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M 是正方形ABCD 的對(duì)補(bǔ)點(diǎn)；

（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD 的頂點(diǎn)A（1，1），C（3，3）.除對(duì)角線交點(diǎn)外，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一個(gè)該正方形的對(duì)補(bǔ)點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；

（2）對(duì)補(bǔ)點(diǎn)如：N（， ）．證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：(1)根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直,得到∠DMC＝∠AMB＝90°,從而得到點(diǎn)M是正方形ABCD的對(duì)補(bǔ)點(diǎn).(2) 在直線y＝x（1＜x＜3）或直線y＝－x＋4（1＜x＜3）上

除（2，2）外的任意點(diǎn)均可,通過(guò)證明△DCN≌△BCN,得到∠CND＝∠CNB,利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

試題解析：

（1）

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ AC⊥BD．

∴ ∠DMC＝∠AMB＝90°.

即 ∠DMC＋∠AMB＝180°．

∴ 點(diǎn)M是正方形ABCD的對(duì)補(bǔ)點(diǎn)．

（2）對(duì)補(bǔ)點(diǎn)如：N（， ）．

說(shuō)明：在直線y＝x（1＜x＜3）或直線y＝－x＋4（1＜x＜3）上

除（2，2）外的任意點(diǎn)均可.

證明（方法一）：

連接AC ，BD

由（1）得此時(shí)對(duì)角線的交點(diǎn)為（2，2）．

設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx＋b，

把點(diǎn)A（1，1），C（3，3）分別代入，

可求得直線AC的解析式為：y＝x．

則點(diǎn)N（， ）是直線AC上除對(duì)角線交點(diǎn)外的一點(diǎn)，且在正方形ABCD內(nèi).

連接AC，DN，BN，

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．

又∵ CN＝CN，

∴ △DCN≌△BCN．

∴ ∠CND＝∠CNB．

∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，

∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．

∴ 點(diǎn)N是正方形ABCD的對(duì)補(bǔ)點(diǎn)．

證明（方法二）：

連接AC ，BD，

由（1）得此時(shí)對(duì)角線的交點(diǎn)為（2，2）．

設(shè)點(diǎn)N是線段AC上的一點(diǎn)（端點(diǎn)A，C及對(duì)角線交點(diǎn)除外），

連接AC，DN，BN，

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ DC＝BC，∠DCN＝∠BCN．

又∵ CN＝CN，

∴ △DCN≌△BCN．

∴ ∠CND＝∠CNB．

∵ ∠CNB＋∠ANB＝180°，

∴ ∠CND＋∠ANB＝180°．

∴ 點(diǎn)N是正方形ABCD除對(duì)角線交點(diǎn)外的補(bǔ)點(diǎn)．

設(shè)直線AC的解析式為：y＝kx＋b，

把點(diǎn)A（1，1），C（3，3）分別代入，可求得直線AC的解析式為：y＝x．

在1＜x＜3范圍內(nèi)，任取一點(diǎn)均為該正方形的對(duì)補(bǔ)點(diǎn)，如N（， ）．