Question

【題目】定義：兩條長度相等，且它們所在的直線互相垂直，我們稱這兩條線段互為等垂線段．如圖①，直線y＝2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn) B．

（1）若線段AB與線段BC互為等垂線段．求A、B、C的坐標(biāo)．

（2）如圖②，點(diǎn)D是反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E（m，1），線段DE與線段AB互為等垂線段，求m的值；

（3）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．

①用含a的代數(shù)式表示b．

②點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn)，在拋物線上存在點(diǎn)Q，使得線段PQ與線段AB互為等垂線段，且它們互相平分，請直接寫出滿足上述條件的a值．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（0，4），點(diǎn)C（4，2）；（2）m＝；（3）①b＝2a+2；②a＝﹣．

【解析】

（1）證明△AOB≌△CDB（AAS），則BD＝OA＝2，DC＝OB＝4，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)D（n，﹣），則點(diǎn)H（n﹣2，1），點(diǎn)E（n﹣2+4，﹣﹣2），而點(diǎn)E（m，1），即可求解；

（3）①將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；②確定直線PQ的表達(dá)式為y＝﹣x+，則點(diǎn)G（3，0），則HG＝＝2，而HQ＝AB＝，即點(diǎn)Q是HG的中點(diǎn)，求出點(diǎn)Q（1，1），將點(diǎn)A、B、Q的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解．

（1）如圖①，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，

y＝2x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝﹣2，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0）、（0，4），

∵∠ABO+∠CBD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠DBC，

∠AOB＝∠CDB＝90°，AB＝BC，

∴△AOB≌△CDB（AAS），

∴BD＝OA＝2，DC＝OB＝4，

∴點(diǎn)C（4，2）；

（2）如圖②，由（1）知，△AOB≌△EHD（AAS），

則HE＝OB＝4，DH＝OA＝2，

設(shè)點(diǎn)D（n，﹣），則點(diǎn)H（n﹣2，1），點(diǎn)E（n﹣2+4，﹣﹣2），

而點(diǎn)E（m，1），

即：m＝n+2；﹣﹣2＝1，

解得：m＝；

（3）①將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，

故：b＝2a+2；

②如圖③，PQ與BA交于點(diǎn)H，即點(diǎn)H是兩條線段的中點(diǎn)，延長PQ交x軸于點(diǎn)G，

則點(diǎn)H（﹣1，2），直線AB表達(dá)式中的k值為2，則直線PQ表達(dá)式中的k值為﹣，

則直線PQ的表達(dá)式為：y＝﹣x+b，將點(diǎn)H坐標(biāo)代入上式并解得：b＝，

則直線PQ的表達(dá)式為：y＝﹣x+，

則點(diǎn)G（3，0），則HG＝＝2，而HQ＝AB＝，

即點(diǎn)Q是HG的中點(diǎn)，則點(diǎn)Q（1，1），

將點(diǎn)A、B、Q的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得：a＝﹣．