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        1. (2013•武侯區(qū)一模)已知a、b、c分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊(c>b),關(guān)于x的方程x2-2(b+c)x+2bc+a2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,且∠B、∠C滿足關(guān)系式
          3
          sin∠B=sin∠C
          ,△ABC的外接圓面積為64π.
          (1)求a,b,c的長(zhǎng).
          (2)若D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn),點(diǎn)P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PQ∥AC,且交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊向點(diǎn)B的異側(cè)作正三角形PQH,設(shè)正三角形PQH與矩形EDAF的公共部分的面積為S,BP的長(zhǎng)為
          3
          x.直接寫(xiě)出S與x之間的關(guān)系.
          (3)在(2)的情況下,當(dāng)x=4
          3
          時(shí),求S的值.
          分析:(1)先由關(guān)于x的方程x2-2(b+c)x+2bc+a2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,得出判別式△=0,化簡(jiǎn)得出b2+c2=a2,根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形,且∠A=90°,再由
          3
          sin∠B=sin∠C
          ,根據(jù)正弦定理得出
          3
          b=c,然后由,△ABC的外接圓面積為64π即可求出a=16,b=8,c=8
          3
          ;
          (2)分五種情況進(jìn)行討論:①0≤x≤
          8
          3
          ;②
          8
          3
          <x≤4;③4<x≤
          16
          3
          ;④
          16
          3
          <x≤6;⑤6<x≤8;每一種情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形,再根據(jù)圖形將所求公共部分的面積寫(xiě)成規(guī)則圖形的和差形式,然后計(jì)算即可;
          (3)由于x=4
          3
          >6,所以直接將x=4
          3
          代入(2)中第五種情況下S與x的關(guān)系式中,計(jì)算即可.
          解答:解:(1)∵關(guān)于x的方程x2-2(b+c)x+2bc+a2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,
          ∴△=[-2(b+c)]2-4×1×(2bc+a2)=4(b2+c2-a2)=0,
          ∴b2+c2=a2
          ∴△ABC是直角三角形,且∠A=90°.
          3
          sin∠B=sin∠C
          ,
          3
          b=c,
          ∴4b2=a2,
          ∴a=2b.
          ∵S=π×(
          a
          2
          2=64π,
          ∴a=16,b=8,c=8
          3
          ;

          (2)在Rt△ABC中,∵∠A=90°,a=16,b=8,c=8
          3
          ,
          ∴∠B=30°,∠C=60°.
          在Rt△BPQ中,∵∠BPQ=90°,BP=
          3
          x,
          ∴PQ=BP•tan30°=x.
          分五種情況:
          ①當(dāng)0≤x≤
          8
          3
          時(shí),如圖1,S=0;
          ②當(dāng)
          8
          3
          <x≤4時(shí),如圖2,S=S正△FGH,作正三角形PQH的高HJ,HJ交GF于I.
          ∵HJ=PHsin60°=
          3
          2
          x,
          ∴HI=HJ+BP-BD=
          3
          2
          x+
          3
          x-4
          3
          =
          3
          3
          2
          x-4
          3
          ,
          ∴GI=
          3
          2
          x-4,GF=2GI=3x-8,
          ∴S=S正△FGH=
          3
          4
          (3x-8)2;
          ③當(dāng)4<x≤
          16
          3
          時(shí),如圖3,S=S△PQH-S△MNQ
          ∵PQ=x,PM=DE=
          1
          2
          AC=4,
          ∴MQ=PQ-PM=x-4,
          ∴MN=
          3
          MQ=
          3
          (x-4),
          ∴S=S△PQH-S△MNQ=
          3
          4
          x2-
          1
          2
          3
          (x-4)•(x-4)=-
          3
          4
          x2+4
          3
          x-8
          3
          ;
          ④當(dāng)
          16
          3
          <x≤6時(shí),如圖4,S=S矩形APMF-S△PAK-S△NLF
          ∵BP=
          3
          x,PM=DE=4,
          ∴AP=AB-BP=8
          3
          -
          3
          x,
          ∴S矩形APMF=PM•AP=4(8
          3
          -
          3
          x).
          ∵AK=
          3
          3
          AP=8-x,
          ∴S△PAK=
          1
          2
          AP•AK=
          1
          2
          (8
          3
          -
          3
          x)•(8-x)=
          3
          2
          (8-x)2
          ∵M(jìn)N=
          3
          MQ=
          3
          (x-4),
          ∴NF=MF-MN=(8
          3
          -
          3
          x)-
          3
          (x-4)=12
          3
          -2
          3
          x,
          ∴LF=
          3
          3
          NF=12-2x,
          ∴S△NLF=
          1
          2
          NF•LF=
          1
          2
          (12
          3
          -2
          3
          x)•(12-2x)=
          3
          2
          (12-2x)2
          ∴S=S矩形APMF-S△PAK-S△NLF
          =4(8
          3
          -
          3
          x)-
          3
          2
          (8-x)2-
          3
          2
          (12-2x)2
          =-
          5
          3
          2
          x2+28
          3
          x-72
          3
          ;
          ⑤當(dāng)6<x≤8時(shí),如圖5,
          S=S矩形APMF-S△PAK=4(8
          3
          -
          3
          x)-
          3
          2
          (8-x)2=-
          3
          2
          x2+4
          3
          x;

          (3)在(2)的情況下,當(dāng)x=4
          3
          >6時(shí),
          S=-
          3
          2
          ×(4
          3
          2+4
          3
          ×4
          3
          =48-24
          3
          點(diǎn)評(píng):本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式,勾股定理的逆定理,正弦定理,三角形外接圓的性質(zhì),解直角三角形,等邊三角形、矩形的性質(zhì),圖形的面積,綜合性較強(qiáng),難度較大.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵.
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          a
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          y=-
          1
          3
          x+1
          y=-
          1
          3
          x+1

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