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        1. (2012•慶元縣模擬)定義:若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形,則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.
          探究:(1)如圖甲,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎?若能,請?jiān)趫D甲中畫出分割線,并說明理由.
          (2)一般地,“任意三角形都是自相似圖形”,只要順次連接三角形各邊中點(diǎn),則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形.我們把△DEF(圖乙)第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為1階分割(如圖1);把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為2階分割(如圖2)…依次規(guī)則操作下去.n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形(n為正整數(shù)),設(shè)此時(shí)小三角形的面積為Sn
          ①若△DEF的面積為1000,當(dāng)n為何值時(shí),3<Sn<4?
          (請用計(jì)算器進(jìn)行探索,要求至少寫出二次的嘗試估算過程)
          ②當(dāng)n>1時(shí),請寫出一個(gè)反映Sn-1,Sn,Sn+1之間關(guān)系的等式(不必證明)
          分析:(1)過直角頂點(diǎn)作斜邊的垂線即可得出兩個(gè)與原直角三角形相似的三角形.由于這兩個(gè)三角形都與原三角形共用一個(gè)銳角,又都有一個(gè)直角,因此有兩個(gè)對應(yīng)角相等,因此都與原三角形相似.
          (2)由圖可知,每分割一次得到的圖形的小三角形的個(gè)數(shù)都是前面一個(gè)圖形中小三角形的個(gè)數(shù)的4倍,因此當(dāng)?shù)趎個(gè)圖時(shí),如果設(shè)原三角形的面積為S,那么小三角形的面積應(yīng)該是Sn=
          S
          4n

          ①按所求的公式進(jìn)行計(jì)算,看n是多少時(shí)Sn的值在3和4之間.
          ②Sn=
          S
          4n
          =
          S
          22n
          ,Sn-1=
          S
          4n-1
          =
          S
          22n-2
          ,Sn+1=
          S
          4n+1
          =
          S
          22n+2
          ,由此可看出Sn2=Sn-1•Sn+1
          解答:解:(1)正確畫出分割線CD

          (如圖,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,CD即是滿足要求的分割線.)
          理由:∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°
          ∴△BCD∽△ACB;

          (2)①△DEF 經(jīng)N階分割所得的小三角形的個(gè)數(shù)為
          1
          4n

          Sn=
          1000
          4n

          當(dāng) n=3時(shí),S3=
          1000
          S3
          ≈15.62
          當(dāng) n=4時(shí),S4=
          1000
          S4
          ≈3.91
          ∴當(dāng) n=4時(shí),3<S4<4
          ②∵Sn=
          S
          4n
          =
          S
          22n
          ,Sn-1=
          S
          4n-1
          =
          S
          22n-2
          ,Sn+1=
          S
          4n+1
          =
          S
          22n+2

          ∴S
           
          2
          n
          =Sn-1×Sn+1,Sn-1=4Sn+1
          點(diǎn)評:本題考查的是相似形的識別,關(guān)鍵要聯(lián)系實(shí)際,根據(jù)相似圖形的定義得出.要根據(jù)前面幾個(gè)簡單圖形得出一般化規(guī)律,然后用得出的規(guī)律來求解.
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