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        1. 【題目】已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,.E是邊AB的中點,聯(lián)結DE、CE,且DE⊥CE.設AD=x,BC=y.

          (1)如果∠BCD=60°,求CD的長;

          (2)求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;

          (3)聯(lián)結BD.如果△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形,求x的值.

          【答案】(1)4;。2)x>0,且;。3)

          【解析】(1)首先過點D作DH⊥BC,垂足為點H,由AD∥BC,AB⊥BC,DH⊥BC,可求得DH的長,然后設CH=x,則 CD=2x,利用勾股定理即可求得方程:x2+(22=4x2,解此方程即可求得答案;

          (2)首先取CD的中點F,連接EF,由梯形的中位線,可表示出EF的長,易得四邊形ABHD是平行四邊形,然后由勾股定理可得:(y﹣x)2+12=(x+y)2,繼而求得答案;

          (3)分別從CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案.

          解:(1)過點D作DH⊥BC,垂足為點H.

          ∵AD∥BC,AB⊥BC,DH⊥BC,

          ∴DH=AB=2,

          在Rt△DHC中,

          ∵∠BCD=60°,

          ∴∠CDH=30°.

          ∴CD=2CH,

          設CH=x,則 CD=2x.

          利用勾股定理,得 CH2+DH2=CD2

          即得:x2+(22=4x2

          解得 x=2(負值舍去).

          ∴CD=4;

          (2)取CD的中點F,連接EF,

          ∵E為邊AB的中點,

          ∴EF=(AD+BC)=(x+y).

          ∵DE⊥CE,

          ∴∠DEC=90°.

          又∵DF=CF,

          ∴CD=2EF=x+y.

          由AB⊥BC,DH⊥BC,得∠B=∠DHC=90°.

          ∴AB∥DH.

          又∵AB=DH,

          ∴四邊形ABHD是平行四邊形.

          ∴BH=AD=x.

          即得 CH=|y﹣x|,

          在Rt△DHC中,利用勾股定理,得 CH2+DH2=CD2

          即得 (y﹣x)2+12=(x+y)2

          解得

          ∴所求函數(shù)解析式為

          自變量x的取值范圍是x>0,且

          (3)當△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形時,有兩種可能情況:CD=BD或CD=BC.

          ( i)如果CD=BD,由DH⊥BC,得 BH=CH.即得 y=2x.

          利用,得

          解得,

          經檢驗:,且不合題意,舍去.

          ( ii)如果CD=BC,則 x+y=y.

          即得 x=0(不合題意,舍去),

          綜上可得:

          “點睛”此題屬于四邊形的綜合題.考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質以及勾股定理等知識.注意掌握輔助線的作法,掌握方程思想與分類討論思想的應用是解此題的關鍵.

          練習冊系列答案
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