Question

【題目】數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)了圓周角的概念和性質(zhì)：“頂點(diǎn)在圓上，兩邊與圓相交”，“同弧所對(duì)的圓周角相等”，小明在課后繼續(xù)對(duì)圓外角和圓內(nèi)角進(jìn)行了探究．

下面是他的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

定義概念：頂點(diǎn)在圓外，兩邊與圓相交的角叫做圓外角，頂點(diǎn)在圓內(nèi)，兩邊與圓相交的角叫做圓內(nèi)角．如圖1，∠M為所對(duì)的一個(gè)圓外角．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出所對(duì)的一個(gè)圓內(nèi)角；

提出猜想

(2)通過(guò)多次畫(huà)圖、測(cè)量，獲得了兩個(gè)猜想：一條弧所對(duì)的圓外角______這條弧所對(duì)的圓周角；一條弧所對(duì)的圓內(nèi)角______這條弧所對(duì)的圓周角；(填“大于”、“等于”或“小于”)

推理證明：

(3)利用圖1或圖2，在以上兩個(gè)猜想中任選一個(gè)進(jìn)行證明；

問(wèn)題解決

經(jīng)過(guò)證明后，上述兩個(gè)猜想都是正確的，繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，還可以解決下面的問(wèn)題．

(4)如圖3，F，H是∠CDE的邊DC上兩點(diǎn)，在邊DE上找一點(diǎn)P使得∠FPH最大．請(qǐng)簡(jiǎn)述如何確定點(diǎn)P的位置．(寫(xiě)出思路即可，不要求寫(xiě)出作法和畫(huà)圖)

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）小于；大于（3）見(jiàn)解析（4）見(jiàn)解析

【解析】

（1）在⊙O內(nèi)任取一點(diǎn)M，連接AM，BM；
（2）觀察圖形，可知：一條弧所對(duì)的圓外角小于這條弧所對(duì)的圓周角；一條弧所對(duì)的圓內(nèi)角大于這條弧所對(duì)的圓周角，此問(wèn)得解；
（3）（i）BM與⊙O相交于點(diǎn)C，連接AC，利用三角形外角的性質(zhì)可得出∠ACB=∠M+∠MAC，進(jìn)而可證出∠ACB＞∠M；（ii）延長(zhǎng)BM交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，利用三角形外角的性質(zhì)可得出∠AMB=∠ACB+∠CAM，進(jìn)而可證出∠AMB＞∠ACB；
（4）由（2）的結(jié)論，可知：當(dāng)過(guò)點(diǎn)F，H的圓與DE相切時(shí)，切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．

（1）如圖2所示．

（2）觀察圖形，可知：一條弧所對(duì)的圓外角小于這條弧所對(duì)的圓周角；一條弧所對(duì)的圓內(nèi)角大于這條弧所對(duì)的圓周角．

故答案為：小于；大于．

（3）證明：（i）如圖1，BM與⊙O相交于點(diǎn)C，連接AC．

∵∠ACB＝∠M+∠MAC，

∴∠ACB＞∠M；

（ii）如圖4，延長(zhǎng)BM交⊙O于點(diǎn)C，連接AC．

∵∠AMB＝∠ACB+∠CAM，

∴∠AMB＞∠ACB．

（4）如圖3，當(dāng)過(guò)點(diǎn)F，H的圓與DE相切時(shí)，切點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．