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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          (2010•畢節(jié)地區(qū))如圖在平面平面直角系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與軸交于點A(-2,0)、B(4,0),與軸交于點C(0,4),直線l是拋物線的對稱軸,與x軸交于點D,點P是直線l上一動點.
          (1)求此拋物線的表達式.
          (2)當AP+CP的值最小時,求點P的坐標;再以點A為圓心,AP的長為半徑作
          ⊙A.求證:BP與⊙A相切.
          (3)點P在直線l上運動時,是否存在等腰△ACP?若存在,請寫出所有符合條件的點P坐標;若不存在,請說明理由.
          分析:(1)利用待定系數法求二次函數的解析式:設拋物線的交點式y(tǒng)=a(x+2)(x-4),然后把C(0,4)代入得4=-8a,解出a即可;
          (2)先求出對稱軸為直線x=1,過C作CC′⊥l交拋物線與C′,則點C與C′為對稱點,連AC′交直線x=1與點P,連PC,此時AP+CP的值最小,C′的坐標為(2,4);利用待定系數法可求直線
          AC′的解析式為y=x+2,令x=1,則y=3,確定P點坐標為(1,3);連BP,如圖,易得PD=3,DA=1-(-2)=3,BD=4-1=3,則△PDB和△PBD都為等腰直角三角形,得到∠APB=45°+45°=90°,根據切線的判定定理即可得到BP與⊙A相切;
          (3)分類討論:當CP=CA,點P與點A關于y軸對稱,則P1點坐標為(2,0);當AP=AC=2
          5
          ,以A圓心、AC為半徑交直線x=1于P2、P3,連AP2,AP3,利用勾股定理計算出
          P2D=
          11
          ,于是可確定P2的坐標為(1,
          11
          ),P3的坐標為(1,-
          11
          );當CP=CA=2
          5
          ,以C為圓心、AC為半徑交直線x=1于P4、P5,連CP4,CP5,過C作CE⊥直線x=1于E點,用同樣的方法可求出P4的坐標為(1,4+
          19
          ),P5的坐標為(1,4-
          19
          ).
          解答:解:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),
          把C(0,4)代入得4=-8a,解得a=-
          1
          2
          ,
          ∴此拋物線的表達式為y=-
          1
          2
          (x+2)(x-4)=-
          1
          2
          x2+x+4;

          (2)拋物線的對稱軸為直線x=-
          1
          2×(-
          1
          2
          )
          =1,
          ∵AP+CP的值最小,AC為定值,則過C作CC′⊥l交拋物線與C′,則點C與C′為對稱點,連AC′交直線x=1與點P,連PC,
          ∴C′的坐標為(2,4),
          設直線AC′的解析式為y=kx+b,把A(-2,0)和C′(2,4)代入得-2k+b=0,2k+b=4,解得k=1,b=2,
          ∴直線AC′的解析式為y=x+2,
          令x=1,則y=3,
          所以P點坐標為(1,3);
          連BP,如圖,
          ∵PD=3,DA=1-(-2)=3,BD=4-1=3,
          ∴△PDB和△PBD都為等腰直角三角形,
          ∴∠APB=45°+45°=90°,
          ∴PB為⊙A的切線;

          (3)存在.
          當PC=PA,作AC的中垂線交直線x=1于P1點,P1C=P1A,
          設P1(1,y),
          則y2+32=12+(4-y)2,解得y=1,
          ∴P1(1,1);
          當AP=AC=2
          5
          以A圓心、AC為半徑交直線x=1于P2、P3,連AP2,AP3,
          P2D=
          (2
          5)
          2
          -3 2
          =
          11

          ∴P2的坐標為(1,
          11
          ),P3的坐標為(1,-
          11
          );
          當CP=CA=2
          5
          ,以C為圓心、AC為半徑交直線x=1于P4、P5,連CP4,CP5,過C作CE⊥直線x=1于E點,
          同理可得到P4的坐標為(1,4+
          19
          ),P5的坐標為(1,4-
          19
          ).
          ∴符合條件的點P坐標為:(1,1)、(1,
          11
          )、(1,-
          11
          )、(1,4+
          19
          )、(1,4-
          19
          ).
          點評:本題考查了二次函數的綜合題:先利用待定系數法求函數的解析式,然后利用二次函數的性質得到對稱軸方程.同時考查了等腰直角三角形的判定與性質、分類討論思想的運用以及切線的判定方法.
          練習冊系列答案
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          160cm2
          160cm2

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