Question

（2010•畢節(jié)地區(qū)）如圖在平面平面直角系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與軸交于點A（-2，0）、B（4，0），與軸交于點C（0，4），直線l是拋物線的對稱軸，與x軸交于點D，點P是直線l上一動點．
（1）求此拋物線的表達式．
（2）當AP+CP的值最小時，求點P的坐標；再以點A為圓心，AP的長為半徑作
⊙A．求證：BP與⊙A相切．
（3）點P在直線l上運動時，是否存在等腰△ACP？若存在，請寫出所有符合條件的點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數的解析式：設拋物線的交點式y(tǒng)=a（x+2）（x-4），然后把C（0，4）代入得4=-8a，解出a即可；
（2）先求出對稱軸為直線x=1，過C作CC′⊥l交拋物線與C′，則點C與C′為對稱點，連AC′交直線x=1與點P，連PC，此時AP+CP的值最小，C′的坐標為（2，4）；利用待定系數法可求直線
AC′的解析式為y=x+2，令x=1，則y=3，確定P點坐標為（1，3）；連BP，如圖，易得PD=3，DA=1-（-2）=3，BD=4-1=3，則△PDB和△PBD都為等腰直角三角形，得到∠APB=45°+45°=90°，根據切線的判定定理即可得到BP與⊙A相切；
（3）分類討論：當CP=CA，點P與點A關于y軸對稱，則P₁點坐標為（2，0）；當AP=AC=2

5

，以A圓心、AC為半徑交直線x=1于P₂、P₃，連AP₂，AP₃，利用勾股定理計算出
P₂D=

11

，于是可確定P₂的坐標為（1，

11

），P₃的坐標為（1，-

11

）；當CP=CA=2

5

，以C為圓心、AC為半徑交直線x=1于P₄、P₅，連CP₄，CP₅，過C作CE⊥直線x=1于E點，用同樣的方法可求出P₄的坐標為（1，4+

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），P₅的坐標為（1，4-

19

）．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-4），
把C（0，4）代入得4=-8a，解得a=-

1

2

，
∴此拋物線的表達式為y=-

1

2

（x+2）（x-4）=-

1

2

x²+x+4；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=-

1

2×(- 1 2 )

=1，
∵AP+CP的值最小，AC為定值，則過C作CC′⊥l交拋物線與C′，則點C與C′為對稱點，連AC′交直線x=1與點P，連PC，
∴C′的坐標為（2，4），
設直線AC′的解析式為y=kx+b，把A（-2，0）和C′（2，4）代入得-2k+b=0，2k+b=4，解得k=1，b=2，
∴直線AC′的解析式為y=x+2，
令x=1，則y=3，
所以P點坐標為（1，3）；
連BP，如圖，
∵PD=3，DA=1-（-2）=3，BD=4-1=3，
∴△PDB和△PBD都為等腰直角三角形，
∴∠APB=45°+45°=90°，
∴PB為⊙A的切線；

（3）存在．
當PC=PA，作AC的中垂線交直線x=1于P₁點，P₁C=P₁A，
設P₁（1，y），
則y²+3²=1²+（4-y）²，解得y=1，
∴P1（1，1）；
當AP=AC=2

5

以A圓心、AC為半徑交直線x=1于P₂、P₃，連AP₂，AP₃，
P₂D=

(2 5) 2-3 2

=

11

，
∴P₂的坐標為（1，

11

），P₃的坐標為（1，-

11

）；
當CP=CA=2

5

，以C為圓心、AC為半徑交直線x=1于P₄、P₅，連CP₄，CP₅，過C作CE⊥直線x=1于E點，
同理可得到P₄的坐標為（1，4+

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），P₅的坐標為（1，4-

19

）．
∴符合條件的點P坐標為：（1，1）、（1，

11

）、（1，-

11

）、（1，4+

19

）、（1，4-

19

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合題：先利用待定系數法求函數的解析式，然后利用二次函數的性質得到對稱軸方程．同時考查了等腰直角三角形的判定與性質、分類討論思想的運用以及切線的判定方法．