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        1. 【題目】(問題情境)

          課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:

          1)如圖①,中,,若,點是斜邊上一動點,求線段的最小值.

          在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:

          根據(jù)直線外一點和直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短,得到:

          當(dāng)時,線段取得最小值.請你根據(jù)小明的思路求出這個最小值.

          (思維運用)

          2)如圖,在中,,為斜邊上一動點,過于點,過于點,求線段的最小值.

          (問題拓展)

          3)如圖,,線段上的一個動點,分別以為邊在的同側(cè)作菱形和菱形,點在一條直線上.,分別是對角線的中點,當(dāng)點在線段上移動時,點之間的距離的最小值為_____.(直接寫出結(jié)果,不需要寫過程)

          【答案】1;(2;(3

          【解析】

          1)利用三角形的面積相等即可求解;

          2)連接CM,先證明四邊形CDME是矩形,得出DE=CM,再由三角形的面積關(guān)系求出CM的最小值,即可得出結(jié)果.

          3)連接PM、PN.首先證明∠MPN=90°,設(shè)PA=2a,則PB=6-2a,PM=a,PN=(3-a),構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題;

          解:(1)如圖,當(dāng)時,線段取得最小值.

          中,,,

          AB=,

          ,

          ,

          ,

          CM的最小值為.

          2)連接CM,如圖所示:


          MDAC,MECB,
          ∴∠MDC=MEC=90°
          ∵∠C=90°,
          ∴四邊形CDME是矩形,
          DE=CM,
          ∵∠C=90°BC=3,AC=4,
          AB=

          當(dāng)CMAB時,CM最短,

          ,

          ∴線段DE的最小值為;
          故答案為:

          3)連接PM、PN
          ∵四邊形APCD,四邊形PBFE是菱形,∠DAP=60°,
          ∴∠APC=120°,∠EPB=60°
          M,N分別是對角線AC,BE的中點,
          ∴∠CPM=APC=60°,∠EPN=EPB=30°,
          ∴∠MPN=60°+30°=90°
          設(shè)PA=2a,則PB=6-2aPM=a,PN=(3-a),

          ,

          a=時,點MN之間的距離最短,最短距離為
          故答案為:

          練習(xí)冊系列答案
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