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        1. 精英家教網(wǎng)已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),頂點C(1,-3),與x軸交于A,B兩點,A(-1,0).
          (1)求這條拋物線的解析式;
          (2)如圖,以AB為直徑作圓,與拋物線交于點D,與拋物線對稱軸交于點E,依次連接A,D,B,E,點P為線段AB上一個動點(P與A,B兩點不重合),過點P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,請判斷
          PM
          BE
          +
          PN
          AD
          是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由;
          (3)在(2)的條件下,若點S是線段EP上一點,過點S作FG⊥EP,F(xiàn)G分別與邊AE,BE相交于點F,G(F與A,E不重合,G與E,B不重合),請判斷
          PA
          PB
          =
          EF
          EG
          是否成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
          分析:(1)已知拋物線的頂點坐標就可以利用頂點式求函數(shù)的解析式.
          (2)AB是圓的直徑,因而∠ADB=∠AEB=90°,得到PN∥AD,得到
          PN
          AD
          =
          BP
          AB
          ,同理
          PM
          BE
          =
          AP
          AB
          ,這樣就可以求出
          PM
          BE
          +
          PN
          AD
          的值.
          (3)易證△AEB為等腰直角三角形,過點P作PH⊥BE與H,四邊形PHEM是矩形,易證△APM∽△PBH,則
          PA
          PB
          =
          PM
          PH
          =
          PM
          ME
          ,再證明△MEP∽△EGF,則
          PM
          ME
          =
          EF
          EG
          因而
          PA
          PB
          =
          EF
          EG
          可證.
          解答:解:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-3(1分)
          將A(-1,0)代入:0=a(-1-1)2-3,
          解得a=
          3
          4
          (2分)
          所以,拋物線的解析式為y=
          3
          4
          (x-1)2-3,即y=
          3
          4
          x2-
          3
          2
          x-
          9
          4
          (3分)

          (2)是定值,
          PM
          BE
          +
          PN
          AD
          =1(4分)
          ∵AB為直徑,
          ∴∠AEB=90°,
          ∵PM⊥AE,
          ∴PM∥BE,
          ∴△APM∽△ABE,
          所以
          PM
          BE
          =
          AP
          AB

          同理:
          PN
          AD
          =
          PB
          AB
          ②(5分)
          ①+②:
          PM
          BE
          +
          PN
          AD
          =
          AP
          AB
          +
          PB
          AB
          =1
          (6分)

          (3)∵直線EC為拋物線對稱軸,
          ∴EC垂直平分AB,精英家教網(wǎng)
          ∴EA=EB,
          ∵∠AEB=90°,
          ∴△AEB為等腰直角三角形,
          ∴∠EAB=∠EBA=45°(7分)
          如圖,過點P作PH⊥BE于H,
          由已知及作法可知,四邊形PHEM是矩形.
          ∴PH=ME且PH∥ME.
          在△APM和△PBH中,
          ∵∠AMP=∠PHB=90°,∠EAB=∠BPH=45°,
          ∴PH=BH,且△APM∽△PBH,
          PA
          PB
          =
          PM
          BH
          ,
          PA
          PB
          =
          PM
          PH
          =
          PM
          ME
          ①(8分)
          在△MEP和△EGF中,
          ∵PE⊥FG,
          ∴∠FGE+∠SEG=90°,
          ∵∠MEP+∠SEG=90°,
          ∴∠FGE=∠MEP,
          ∵∠PME=∠FEG=90°,
          ∴△MEP∽△EGF,
          PM
          ME
          =
          EF
          EG

          由①、②知:
          PA
          PB
          =
          EF
          EG
          (9分)(本題若按分類證明,只要合理,可給滿分)
          點評:本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,以及相似三角形的對應(yīng)邊的比相等.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
          c2
          4
          ,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
          (1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
          (2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
          (3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
          3
          ,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否精英家教網(wǎng)存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(1,0),一條直線y=ax+b,它們的系數(shù)之間滿足如下關(guān)系:a>b>c.
          (1)求證:拋物線與直線一定有兩個不同的交點;
          (2)設(shè)拋物線與直線的兩個交點為A、B,過A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
          c
          a
          ,試問:是否存在實數(shù)k,使線段A1B1的長為4
          2
          .如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•貴陽)已知:直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點P,如圖所示.
          (1)頂點P的坐標是
          (-1,4)
          (-1,4)
          ;
          (2)若直線y=ax+b經(jīng)過另一點A(0,11),求出該直線的表達式;
          (3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關(guān)于x軸成軸對稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點坐標.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          已知:拋物線數(shù)學公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
          (1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
          (2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
          (3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學公式,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源:2009年四川省綿陽市南山中學自主招生考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

          已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
          (1)求證:拋物線與x軸必有兩個不同交點;
          (2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點,與y軸交于點M,拋物線與y軸交于點N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
          (3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點P、Q,問是否存在過P、Q兩點且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標,若不存在,請說明理由.

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