Question

【題目】已知，如圖1：拋物線 交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對稱軸為直線，且過點(diǎn).

（1）求出拋物線的解析式及點(diǎn)坐標(biāo)，

（2）點(diǎn)， ，作直線交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)是直線下方拋物線上的點(diǎn)，連接、，求的面積的最大值，并求出此時點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)、是拋物線對稱軸上的兩點(diǎn)，且已知（， ），（， ），當(dāng)為何值時，四邊形周長最小？并求出四邊形周長的最小值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ， ；（3），周長最小值是，理由見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)和對稱軸方程列出方程組求解即可；

（2）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出直線BD的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)E坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積的計(jì)算公式得出表示三角形面積的二次函數(shù)，求出最大值即可；

（3）在四邊形ANME中，MN，AE是定值，四邊形周長最小，即AN+ME最小.利用軸對稱即可求解.

試題解析：（1）由題可得：

（2）當(dāng)y=0時，

∴

∴A（3，0），B（-1，0）

∵D（0，1）

∴直線BD：y=x+1

∴解方程得：

∴E（5，6）

過點(diǎn)F作FG⊥x軸交直線BE于點(diǎn)G

設(shè)F（m， ），-1<m<5，G（m，m+1）

∴GF=

∴SΔDEF=

∵<0

∴i當(dāng)m=2時，ΔDEF的面積有最大值，最大值是

∴F（2， ）

（3）∵A（3，0），E（5，6）

∴AE=

∵M（1，a+2），N（1，a）

∴MN=2

∴當(dāng)ME+AN的值最小時，四邊形AEMN的周長最小，

∵點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對稱，將點(diǎn)向下平移2個單位長度得到點(diǎn)，

連結(jié)BE交直線x=1于點(diǎn)N，再將點(diǎn)N向上平移2個單位長度得到點(diǎn)M，連結(jié)AN、ME、AE.