Question

如圖，以邊長為的正方形ABCD的對角線所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B且與直線AB只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求拋物線y=x²+bx+c的解析式；
（3）若點(diǎn)P為（2）中拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PMC∽△ADC？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形對角線的性質(zhì)，當(dāng)AB=時(shí)，OA=OB=1，可求直線AB的解析式；
（2）把B（0，-1）代入拋物線y=x²+bx+c中得c=-1，聯(lián)立直線與拋物線解析式，得方程組，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，△=0，可求b；
（3）∵△ADC為等腰直角三角形，則△PMC為等腰直角三角形，即CM=PM=m，又OC=1，根據(jù)圖象P點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），代入拋物線解析式分別求解．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
由已知可得A（-1，0），B（0，-1）則
∴
∴直線AB的解析式為：y=-x-1

（2）把B（0，-1）代入拋物線y=x²+bx+c中得c=-1，聯(lián)立
得x²+（b+1）x=0，
當(dāng)△=0時(shí)，解得b=-1，
∴拋物線解析式為：y=x²-x-1

（3）存在這樣的點(diǎn)P，使△PMC∽△ADC，
∵△ADC為等腰直角三角形，則△PMC為等腰直角三角形，
即CM=PM=m，
又OC=1，根據(jù)圖象P點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)為（1+m，m），（1-m，m），（1-m，-m），
代入拋物線解析式y(tǒng)=x²-x-1中，
解方程：（1+m）²-（1+m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=m，
（1-m）²-（1-m）-1=-m；
解得m=-1，1，1±，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1），（2，1），（，1-），（-，1+）．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，一次函數(shù)，二次函數(shù)解析式的求法，并運(yùn)用拋物線解析式解決三角形的相似問題；本題需要形數(shù)結(jié)合，分類討論．