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        1. 【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F,垂足為O.

          (1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長;

          (2)如圖2,動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā),沿AFBCDE各邊勻速運動一周.即點P自A→F→B→A停止,點Q自C→D→E→C停止.在運動過程中,

          ①已知點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,當A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,求t的值.

          ②若點P、Q的運動路程分別為a、b(單位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關系式.

          【答案】1證明見解析,5cm2a+b=12(ab≠0)

          【解析】

          試題分析:(1)先證明四邊形AFCE為平行四邊形,再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定;根據(jù)勾股定理即可求得AF的長;

          (2)①分情況討論可知,當P點在BF上、Q點在ED上時,才能構成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可;

          ②分三種情況討論可知a與b滿足的數(shù)量關系式.

          解:(1)①四邊形ABCD是矩形,

          ADBC,

          ∴∠CAD=ACBAEF=CFE,

          EF垂直平分AC,垂足為O,

          OA=OC,

          ∴△AOE≌△COF

          OE=OF,

          四邊形AFCE為平行四邊形,

          EFAC,

          四邊形AFCE為菱形,

          ②設菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=(8﹣x)cm,

          在RtABF中,AB=4cm,

          由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2,

          解得x=5,

          AF=5cm

          (2)①顯然當P點在AF上時,Q點在CD上,此時A、C、P、Q四點不可能構成平行四邊形;

          同理P點在AB上時,Q點在DE或CE上或P在BF,Q在CD時不構成平行四邊形,也不能構成平行四邊形.

          因此只有當P點在BF上、Q點在ED上時,才能構成平行四邊形,

          以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,PC=QA,

          點P的速度為每秒5cm,點Q的速度為每秒4cm,運動時間為t秒,

          PC=5t,QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t,即QA=12﹣4t,

          5t=12﹣4t,

          解得,

          以A、C、P、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時,秒.

          ②由題意得,四邊形APCQ是平行四邊形時,點P、Q在互相平行的對應邊上.

          分三種情況:

          i)如圖1,當P點在AF上、Q點在CE上時,AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12;

          ii)如圖2,當P點在BF上、Q點在DE上時,AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12;

          iii)如圖3,當P點在AB上、Q點在CD上時,AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12.

          綜上所述,a與b滿足的數(shù)量關系式是a+b=12(ab≠0).

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