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        1. 【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.

          (1)如圖1,連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長;

          (2)如圖2,動點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿AFBCDE各邊勻速運(yùn)動一周.即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止.在運(yùn)動過程中,

          ①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動時(shí)間為t秒,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.

          ②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動路程分別為a、b(單位:cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.

          【答案】1證明見解析,5cm2a+b=12(ab≠0)

          【解析】

          試題分析:(1)先證明四邊形AFCE為平行四邊形,再根據(jù)對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判定;根據(jù)勾股定理即可求得AF的長;

          (2)①分情況討論可知,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列出方程求解即可;

          ②分三種情況討論可知a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.

          解:(1)①四邊形ABCD是矩形,

          ADBC,

          ∴∠CAD=ACB,AEF=CFE,

          EF垂直平分AC,垂足為O,

          OA=OC,

          ∴△AOE≌△COF,

          OE=OF

          四邊形AFCE為平行四邊形,

          EFAC,

          四邊形AFCE為菱形,

          ②設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=(8﹣x)cm,

          在RtABF中,AB=4cm,

          由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2,

          解得x=5,

          AF=5cm

          (2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí),Q點(diǎn)在CD上,此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;

          同理P點(diǎn)在AB上時(shí),Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF,Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形,也不能構(gòu)成平行四邊形.

          因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,

          以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),PC=QA,

          點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動時(shí)間為t秒,

          PC=5t,QA=CD+AD﹣4t=12﹣4t,即QA=12﹣4t,

          5t=12﹣4t,

          解得

          以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),秒.

          ②由題意得,四邊形APCQ是平行四邊形時(shí),點(diǎn)P、Q在互相平行的對應(yīng)邊上.

          分三種情況:

          i)如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí),AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12;

          ii)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí),AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12;

          iii)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí),AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12.

          綜上所述,a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(ab≠0).

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