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        1. 【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為8cm,分別過四個頂點(diǎn)A、B、C、D做四條直線EF、FG、GH、HE,并保證相鄰兩條直線垂直,相交于E、F、G、H四點(diǎn),且AE=BF=CG=DH.

          (1)求證:四邊形EFGH是正方形;

          (2)判斷無論如何按照上述要求作圖,線段EG、AC的中點(diǎn)是否重合,并說明理由;

          (3)判斷四邊形EFGH的面積有無最大值,若有請寫出面積最大值,并說明理由.

          【答案】(1)證明見解析;(2)線段EG、AC的中點(diǎn)重合,理由見解析;(3)面積最大值為128cm2,理由見解析.

          【解析】試題分析:(1)由正方形的性質(zhì)得出∠BAD=B=BCD=D=90°,AB=BC=CD=DA,證出AH=BE=CF=DG,由SAS證明AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出EH=FE=GF=GH,AEH=BFE,證出四邊形EFGH是菱形,再證出∠HEF=90°,即可得出結(jié)論;(2)連接AC、EG,交點(diǎn)為O;先證明AOE≌△COG,得出OA=OC,證出O為對角線AC、BD的交點(diǎn),即O為正方形的中心;(3)理由敘述合理即可

          (1)∵相鄰兩條邊互相垂直,

          ∴∠E=F=G=H=90°,

          又∵AE=BF=CG=DH,AB=BC=CD=DA,

          ∴△EAB≌△FBC≌△GCD≌△HAD,

          AH=BE=CF=DG,

          EF=FG=GH=HE,

          ∵相鄰兩條邊互相垂直,

          ∴四邊形EFGH是正方形;

          (2)(證法不唯一)

          線段EG、AC的中點(diǎn)重合.

          連結(jié)EC、AG,

          AE= CG,且AECG,

          ∴四邊形AECG為平行四邊形,

          ∴線段EG、AC的中點(diǎn)重合.

          (3)有最大值,面積最大值為128cm2.如圖,

          當(dāng)ABCD分別為各邊中點(diǎn)時,四邊形EFGH面積最大.(理由敘述合理即可.)

          例如:在各種情況中當(dāng)ABCD分別為各邊中點(diǎn)時,四邊形EFGH邊長為正方形ABCD對角線,其他情況中邊長都比對角線小.

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