Question

【題目】如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．

（1）嘗試探究：
結論1：DM、MN的數量關系是；
結論2：DM、MN的位置關系是；
（2）猜想論證：證明你的結論．
（3）拓展：如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180°，其他條件不變，（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）DM=MN；DM⊥MN
（2）

解：結論1：DM=MN，理由是：

如圖1，∵M是AF的中點，N是EF的中點，

∴MN= AE，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADF=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，

∴DM= AF，

∵△ECF是等腰直角三角形，

∴EC=FC，

∴BE=DF，

在△ABE和△ADF中，

∵ ，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE=AF，

∴DM=MN；

結論2，DM、MN的位置關系是：DM⊥MN，理由是：

如圖1，∵M是AF的中點，N是EF的中點，

∴MN∥AE，

∴∠NMF=∠EAF，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠FAD，

Rt△ADF中，∵M是AF的中點，

∴AM=DM，

∴∠FAD=∠MDA，

∵∠FMD=∠FAD+∠MDA=∠FAD+∠BAE，

∴∠DMN=∠NMF+∠FMD=∠EAF+∠BAE+∠FAD=90°，

∴DM⊥MN

（3）

解：（2）中的兩個結論還成立，

證明：連接AE，交MD于點G，

∵點M為AF的中點，點N為EF的中點，

∴MN∥AE，MN= AE，

由（1）同理可證，

AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，

又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，

在Rt△ADF中，

∵點M為AF的中點，

∴DM= AF，

∴DM=MN，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠1=∠2，

∵AB∥DF，

∴∠1=∠3，

同理可證：∠2=∠4，

∴∠3=∠4，

∵DM=AM，

∴∠MAD=∠5，

∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，

∵MN∥AE，

∴∠DMN=∠DGE=90°，

∴DM⊥MN．

【解析】解：（1）結論1：DM、MN的數量關系是：DM=MN，
結論2：DM、MN的位置關系是：DM⊥MN，
所以答案是：DM=MN，DM⊥MN；
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線和三角形中位線定理的相關知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半才能正確解答此題．