Question

【題目】（1）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為a，對(duì)角線與一邊的夾角為α（α≤45°），則CD＝　 　（用α的三角函數(shù)和a來表示），S△BCD＝　 　（用α的三角函數(shù)和a來表示）＝　 　（用2α的三角函數(shù)和a來表示）；

（2）猜想并直接寫出sin2α，sinα，cosα之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)，可以用α的三角函數(shù)和a來表示出CD，然后根據(jù)三角形的面積公式和銳角三角函數(shù)可以表示出S△BCD，本題得以解決；

（2）先寫出sin2α，sinα，cosα之間的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)（1）中S△BCD的結(jié)果，可以說明這個(gè)數(shù)量關(guān)系為什么成立．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∠DBC＝α，AC＝a，

∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OB＝OD＝a，BD＝a，

∴CD＝asinα，BC＝acosα，

∴S△BCD＝BCCD＝×acosα×asinα＝a2sinαcosα，

作CE⊥BD于點(diǎn)E，

∵OB＝OC，∠OBC＝α，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠EOC＝2α，

∴EC＝OCsin2α＝asin2α，

∴S△BCD＝BDCE＝aasin2α＝a2sin2α，

故答案為：asinα，a2sinαcosα，a2sin2α；

（2）sin2α＝2sinαcosα，

理由：∵S△BCD＝a2sinαcosα，S△BCD＝a2sin2α，

∴a2sinαcosα＝a2sin2α，

∴sin2α＝2sinαcosα．