Question

如圖，點(diǎn)A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OD⊥OB，連接AB交OC于點(diǎn)D．
（1）求證：AC=CD；
（2）若AC=2，AO=

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，求OD的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得出，∠OAC=90°，再由已知條件得∠ODB+∠B=90°，由OA=OB可得出∠OAB=∠B，從而得出∠CAB=∠ADC，即AC=CD．
（2）利用勾股定理求出OC，即可得出OD的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AC是⊙切線，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC=90°，
∴∠OAB+∠CAB=90°．
∵OC⊥OB，
∴∠COB=90°，
∴∠ODB+∠B=90°．
∵OA=OB
∴∠OAB=∠B，
∴∠CAB=∠ODB．
∵∠ODB=∠ADC，
∴∠CAB=∠ADC
∴AC=CD；

（2）解：在Rt△OAC中，OC=

OA2+AC2

=3，
∴OD=OC-CD，
=OC-AC，
=3-2，
=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，證明線段的相等一般證明這個(gè)三角形的兩個(gè)角相等．