Question

【題目】如圖，拋物線過點(diǎn)， ． 為線段OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)A不重合），過點(diǎn)M作垂直于x軸的直線與直線AB和拋物線分別交于點(diǎn)P、N．

（1）求直線AB的解析式和拋物線的解析式；

（2）如果點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)，那么求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）如果以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）N（，）；（3）M(，0)或M(，0) .

【解析】分析: （1）利用待定系數(shù)法求直線和拋物線解析式；

（2）先表示出N（m，- m2+m+2），P（m，-m+2），則計(jì)算出NP=-m2+4m，PM=-m+2，則利用NP=PM得到-m2+4m=-m+2，然后解方程求出m即可得到N點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出AB=，BP=m，NP=-m2+4m，由于∠BPN=∠ABO，利用相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，△BPN∽△OBA，則△BPN∽△MPA，即；當(dāng)時(shí)，△BPN∽△ABO，則△BPN∽△APM，即，然后分別解關(guān)于m的方程即可得到對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo).

詳解:

（1）解：設(shè)直線的解析式為（）

∵，

∴ 解得

∴直線的解析式為

∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，

∴ 解得

∴

（2）∵軸， 設(shè)，

∴，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)

∴

∴

解得， （不合題意，舍去）

∴

（3）∵， ，

∴，

∴

∵

∴當(dāng)與相似時(shí)，存在以下兩種情況：

∴ 解得

∴

∴ ,解得

∴

點(diǎn)睛: 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；靈活應(yīng)用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題.