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        1. 【題目】問題背景:如圖1,在正方形ABCD的內部,作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH,根據(jù)三角形全等的條件,易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH,從而得四邊形EFGH是正方形.

          類比探究:如圖2,在正△ABC的內部,作∠1=∠2=∠3AD,BE,CF兩兩相交于D,E,F三點(D,E,F三點不重合).

          1)△ABD,△BCE,△CAF是否全等?如果是,請選擇其中一對進行證明;

          2)△DEF是否為正三角形?請說明理由;

          3)如圖3,進一步探究發(fā)現(xiàn),△ABD的三邊存在一定的等量關系,設BDa,ADb,ABc,請?zhí)剿?/span>a,bc滿足的等量關系.

          【答案】1)△ABD≌△BCE≌△CAF,證明詳見解析;(2)△DEF是正三角形,理由詳見解析;(3c2a2+ab+b2

          【解析】

          1)由正三角形的性質得出CABABCBCA60°,ABBC,證出ABDBCE,由ASA證明ABD≌△BCE即可;

          2)由全等三角形的性質得出ADBBECCFA,證出FDEDEFEFD,即可得出結論;

          3)作AGBDG,由正三角形的性質得出ADG60°,在Rt△ADG中,DGbAGb,在Rt△ABG中,由勾股定理即可得出結論.

          1ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下:

          ∵△ABC是正三角形,

          ∴∠CABABCBCA60°,ABBCAC,

          ∵∠1∠2∠3,

          ∴∠ABDBCECAF

          ABDBCECAF中,

          ∴△ABD≌△BCE≌△CAFASA);

          2DEF是正三角形;理由如下:

          ∵△ABD≌△BCE≌△CAF,

          ∴∠ADBBECCFA,

          ∴∠FDEDEFEFD

          ∴△DEF是正三角形;

          3c2a2+ab+b2.理由如下:

          如圖所示,作AGBDG,

          ∵△DEF是正三角形,

          ∴∠ADG60°,

          Rt△ADG中,∠AGD=90°,∠ADG=60°,

          ∴∠DAG=30°,

          DGAD=b,

          AG=b

          BG=BD+DG=a+b,

          Rt△ABG中,∠AGB=90°

          AB2=BG2+AG2,

          c2=(a+b2+b2

          c2a2+ab+b2

          練習冊系列答案
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          (1)求k的值;

          (2)如圖①,若點Px軸上的動點,連接PEPD,DE,當DEP的周長最短時,求點P的坐標;

          (3)如圖②,若點Qx,y)在該反比例函數(shù)圖象上運動(不與D重合),過點QQMy軸,垂足為M,作QNBC所在直線,垂足為N,記四邊形CMQN的面積為S,求S關于x的函數(shù)關系式,并寫出x的取值范圍.

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          A. 1

          B. 2

          C. 3

          D. 4

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          ①小明和同學討論后發(fā)現(xiàn):的取值范圍不能是任意實數(shù).請你直接寫出、不能取哪些實數(shù).

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