Question

【題目】（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠A=50°，求∠1+∠2的度數(shù)，猜想并直接寫出∠1+∠2與∠A的數(shù)量關(guān)系．（不必證明）

（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點A與點I重合，若∠1+∠2=110°，求∠BIC的度數(shù)；

（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點F，CG⊥AB于點G，BF、CG交于點H，把△ABC折疊使點A和點H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）100°,∠1+∠2=2∠A；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義求出即可；

(2)根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度數(shù)即可；

(3)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及垂線的性質(zhì)得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，進而求出∠A=(∠1+∠2)，即可得出答案．

(1)∠1+∠2=2∠A；

理由：根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠ADE=(180°-∠1)，∠AED=(180°-∠2)，

∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴∠A+(180-∠1)+(180-∠2)=180°，

整理得2∠A=∠1+∠2，

∵∠A=50°，

∴∠1+∠2＝100°，

猜想：∠1+∠2=2∠A；

(2)由(1)∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°，∴∠A=55°，

∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-∠A)=90°-∠A，

∴∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-∠A)=90°+×55°=117.5°；

(3)∵BF⊥AC，CG⊥AB，

∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，

∴∠FHG+∠A=360°-180°=180°，

∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，

由(1)知∠1+∠2=2∠A，

∴∠A=(∠1+∠2)，

∴∠BHC=180°-(∠1+∠2)．